1.互斥事件、对立事件的确定和计算；

[例1]某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的.

　(Ⅰ)求3个景区都有部门选择的概率；

　(Ⅱ)求恰有2个景区有部门选择的概率.

解：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为3⁴.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等.

(I)3个景区都有部门选择可能出现的结果数为(从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法)，记“3个景区都有部门选择”为事件A₁，那么事件A₁的概率为

P(A₁)=

(II)解法一：分别记“恰有2个景区有部门选择”和“4个部门都选择同一个景区”为事件A₂和A₃，则事件A₃的概率为P(A₃)=，事件A₂的概率为

P(A₂)=1－P(A₁)－P(A₃)=

解法二：恰有2个景区有部门选择可能的结果为(先从3个景区任意选定2个，共有种选法，再让4个部门来选择这2个景区，分两种情况：第一种情况，从4个部门中任取1个作为1组，另外3个部门作为1组，共2组，每组选择2个不同的景区，共有种不同选法.第二种情况，从4个部门中任选2个部门到1个景区，另外2个部门在另1个景区，共有种不同选法).所以

P(A₂)=

[例2]今有标号为1，2，3，4，5的五封信，另有同样标号的五个信封.现将五封信任意地装入五个信封，每个信封装入一封信，试求

(1)　 至少有两封信配对的概率.

(2)　 至少有一封信配对的概率

(3) 没有一封信配对.

解：(1)设恰有两封信配对为事件A，恰有三封信配对为事件B，恰有四封信(也即五封信配对)为事件C，则“至少有两封信配对”事件等于A+B+C，且A、B、C两两互斥.

∵P(A)=，P(B)=，P(C)=，

∴所求概率P(A)+P(B)+P(C)=.

即至少有两封信配对的概率是.

(2)恰有四封信不配对的装法有C₅¹(3×3)种,

∴至少有一封信配对的概率为.

(3) 1－.

◆提炼方法：1.灵活运用事件的互斥与对立关系,进行分类计算,或间接计算.

2.恰有四封信不配对的算法.

[例3] 学校文艺队每个队员唱歌、跳舞至少会一门，已知会唱歌的有5人，会跳舞的有7人，现从中选3人，且至少要有一位既会唱歌又会跳舞的概率是，问该队有多少人？

解：设该队既会唱歌又会跳舞的有x人，从而只会唱歌或只会跳舞的有(12－x)人，记“至少要有一位既会唱歌又会跳舞”的事件为A，则事件A的对立事件是“只会唱歌或只会跳舞”

解得x=3,　 12－x=9，故该队共有9人

[例4]在袋中装20个小球，其中彩球有n个红色、5个蓝色、10个黄色，其余为白球.

求：(1)如果从袋中取出3个都是相同颜色彩球(无白色)的概率是，且n≥2，那么，袋中的红球共有几个?

(2)根据(1)的结论，计算从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率.

解：(1)取3个球的种数为C=1140.

设“3个球全为红色”为事件A，“3个球全为蓝色”为事件B，“3个球全为黄色”为事件C.

P(B)==，P(C)==.

∵A、B、C为互斥事件，

∴P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)，

即=P(A)++P(A)=0　　　 取3个球全为红球的个数≤2.

又∵n≥2，故n=2.

(2)记“3个球中至少有一个是红球”为事件D.则为“3个球中没有红球”.

P(D)=1－P()=1－=或

P(D)==.

[研讨.欣赏]有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面为等可能性事件，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，…，第100站，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋向前跳一站(从k到k+1)，若掷出反面，棋向前跳两站(从k到k+2)，直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或跳到第100站(失败集中营)时，该游戏结束.设棋子跳到第n站概率为P_n.

(1)求P₀，P₁，P₂的值；

(2)求证：P_n－P_n－1=－(P_n－1－P_n－2)，其中n∈N，2≤n≤99；

(3)求P₉₉及P₁₀₀的值.

(1)解：棋子开始在第0站为必然事件，∴P₀=1.

第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为，

∴P₁=.棋子跳到第2站应从如下两方面考虑：

①前两次掷硬币都出现正面，其概率为；

②第一次掷硬币出现反面，其概率为.

∴P₂=+=.

(2)证明：棋子跳到第n(2≤n≤99)站的情况是下列两种，而且也只有两种：

①棋子先到第n－2站，又掷出反面，其概率为P_n－2；

②棋子先到第n－1站，又掷出正面，其概率为P_n－1.

∴P_n=P_n－2+P_n－1. ∴P_n－P_n－1=－(P_n－1－P_n－2).

(3)解：由(2)知，当1≤n≤99时，数列{P_n－P_n－1}是首项为P₁－P₀=－，公比为－的等比数列.

∴P₁－1=－，P₂－P₁=(－)²，

P₃－P₂=(－)³，…，P_n－P_n－1=(－)ⁿ.

以上各式相加，得P_n－1=(－)+(－)²+…+(－)ⁿ，

∴P_n=1+(－)+(－)²+…+(－)ⁿ

=［1－(－)ⁿ⁺¹］(n=0，1，2，…，99).

∴P₉₉=［1－()¹⁰⁰］，

P₁₀₀=P₉₈=·［1－(－)⁹⁹］=［1+()⁹⁹］.

◆提炼方法：求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率.

5.;　 6. + =.

4.甲不输即为甲获胜或甲、乙二人下成和棋，90%=40%+p，∴p=50%.

6.一盒中装有20个大小相同的弹子球，其中红球10个，白球6个，黄球4个，一小孩随手拿出4个，求至少有3个红球的概率为________.

简答:1-4.DADD;　 2.共有56个三角形,;　 3. 不出现6点向上的概率:=,至少出现一次6点向上的概率:1－= ;

5.若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为　　　　 .

4.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为

A.60%　　　　　　　 B.30%　　　　　　　 C.10%　　　　　　　 D.50%

3.(2004江苏)将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数1、2、3、4、3.6的正方体玩具)先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是　　　　 (　 )

A.　　　　　　　 B.　　　　　　 　C.　　　　　　　 D.

2．(2005湖北)以平行六面体ABCD-A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p为( 　)

A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 D．

1．(2005山东)10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人一张，至少有1人中奖的概率是　　　　 ( 　)

A．　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　 C． 　　　　　　　　　　 D．