2.(2008·全国Ⅰ理)在△ABC中，=c，=b，若点D满足=2，则=　　　 (用b,c表示).

答案　 b+c

1.下列算式中正确的是　　　　 (填序号).

①++=0 　　　②-=　　 　③0·=0 　　　　④(a)=··a

答案　 ①③④

20. (2008·浙江理，18) (16分)如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，

BE∥CF，∠BCF=∠CEF=90°,AD=,EF=2.　

(1)求证:AE∥平面DCF;　

(2)当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为60°?　

方法一　 (1)证明　 过点E作EG⊥CF交CF于G，　

连接DG.可得四边形BCGE为矩形，　

又四边形ABCD为矩形，　

所以AD　 EG，从而四边形ADGE为平行四边形，　

故AE∥DG.　

因为AE平面DCF，DG平面DCF，　

所以AE∥平面DCF.

(2)解　 过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH.　

由平面ABCD⊥平面BEFC，AB⊥BC，　

得AB⊥平面BEFC，　

从而AH⊥EF，所以∠AHB为二面角A-EF-C的平面角.　

在Rt△EFG中，因为EG=AD=，EF=2，　

所以∠CFE=60°,FG=1,　

又因为CE⊥EF,所以CF=4,　

从而BE=CG=3.　

于是BH=BE·sin∠BEH=.　

因为AB=BH·tan∠AHB=×=，　

所以当AB为时，二面角A-EF-C的大小为60°.　

方法二　 如图所示,以点C为坐标原点,以CB、CF和CD所在直线分别作为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系C-xyz.　

设AB=a，BE=b，CF=c，

则C(0，0，0)，A(，0，a)，　

B(，0，0)，E(，b，0)，F(0，c，0).　

(1)证明　 =(0，b，-a)，=(，0，0)，=(0，b，0)，　

所以·=0，·=0，从而CB⊥AE，CB⊥BE.　

AE∩BE=E，所以CB⊥平面ABE.　

因为CB⊥平面DCF，　

所以平面ABE∥平面DCF，AE平面ABE.　

故AE∥平面DCF.　

(2)解　 因为=(-，c-b，0)，=(，b，0).　

·=0，||=2，　

所以　 解得

所以E(，3，0)，F(0，4，0).　

设n=(1,y,z)与平面AEF垂直，　

则n·=0，n·=0，解得n=(1,,).　

又因为BA⊥平面BEFC，=(0，0，a)，　

所以|cos〈n, 〉|=　

解得a=.　

所以当AB为时，二面角A-EF-C的大小为60°.

19.(16分)如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC=2a，E为AB上一点，将B点沿线段EC折起至点P，连接PA、PC、PD，取PD的中点F，若有AF∥平面PEC.

(1)试确定E点位置；

(2)若异面直线PE、CD所成的角为60°，并且PA的长度大于a，

求证：平面PEC⊥平面AECD.

(1)解　 E为AB的中点.

证明如下:取PC的中点G，连接GE，GF.

由条件知GF∥CD，EA∥CD，∴GF∥EA.

则G、E、A、F四点共面.

∵AF∥平面PEC，

平面GEAF∩平面PEC=GE，

∴FA∥GE.

则四边形GEAF为平行四边形.

∴GF=AE，∵GF=CD，∴EA=CD=BA.

即E为AB的中点.

(2)证明　 ∵EA∥CD，PE、CD所成的角为60°，且PA的长度大于a.

∴∠PEA=120°.

∵PE=BE=EA=a，∴PA=a.

取CE的中点M，连接PM，AM，BM，在△AEM中，　　　　　　　　　　　

AM==a.

∵PM=BM=a，∴PM²+AM²=PA².

则∠PMA=90°，PM⊥AM.

∵PM⊥EC，EC∩AM=M，

∴PM⊥平面AECD.

∵PM平面PEC，

∴平面PEC⊥平面AECD.

18.(16分)三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A₁B₁C₁，

∠BAC=90°,A₁A⊥平面ABC,A₁A=,AB=,AC=2,A₁C₁=1,=.

(1)证明:平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁；

(2)求二面角A-CC₁-B的余弦值.

方法一　 (1)证明　 ∵A₁A⊥平面ABC,BC平面ABC,

∴A₁A⊥BC.

在Rt△ABC中,AB=,AC=2,∴BC=.

∵BD∶DC=1∶2,∴BD=.又==,

∴△DBA∽△ABC,∴∠ADB=∠BAC=90°,

即AD⊥BC.

又A₁A∩AD=A,∴BC⊥平面A₁AD.

∵BC平面BCC₁B₁,∴平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁.

(2)解　 如图①,作AE⊥C₁C交C₁C于E点,连接BE,由已知得AB⊥平面ACC₁A₁,

∴AE是BE在平面ACC₁A₁内的射影.

由三垂线定理知BE⊥CC₁,

∴∠AEB为二面角A-CC₁-B的平面角.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 图①

过C₁作C₁F⊥AC交AC于F点,

则CF=AC-AF=1,

C₁F=A₁A=,∴∠C₁CF=60°.

在Rt△AEC中,

AE=ACsin60°=2×=,

在Rt△BAE中,tan∠AEB===,

∴cos∠AEB=,

即二面角A-CC₁-B余弦值为.

方法二　 (1)　 证明　 如图②,建立空间直角坐标系,　

图②

则A(0,0,0),B(,0,0),C(0,2,0),　

A₁(0,0,),C₁(0,1, ).　

∵BD∶DC=1∶2,∴=,　

∴D点坐标为,　

∴=, =(-,2,0),=(0,0,).　

∵·=0，·=0，　

∴BC⊥AA₁，BC⊥AD.又A₁A∩AD=A，　

∴BC⊥平面A₁AD.又BC平面BCC₁B₁，　

∴平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁.　

(2)解　 ∵BA⊥平面ACC₁A₁，取m==(,0,0)为平面ACC₁A₁的法向量.　

设平面BCC₁B₁的法向量为n=(x,y,z),　

则·n=0，·n=0，

∴　

∴x=y，z=，可取y=1，则n=，　

cos〈m,n〉=

=,　

即二面角A-CC₁-B的余弦值为.

17.(14分)如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形A₁ABB₁是菱形，四边形BCC₁B₁是矩形，AB⊥BC，CB=3，AB=4，∠A₁AB=60°.

(1)求证：平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁；

(2)求直线A₁C与平面BCC₁B₁所成角的正切值；

(3)求点C₁到平面A₁CB的距离.

(1)证明　 ∵四边形BCC₁B₁是矩形，∴BC⊥BB₁.

又∵AB⊥BC，∴BC⊥平面A₁ABB₁.

∵BC平面CA₁B，∴平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁.

(2)解　 过A₁作A₁D⊥B₁B于D，连接DC，∵BC⊥平面A₁ABB₁，

∴BC⊥A₁D. ∵BC∩BB₁=B，

∴A₁D⊥平面BCC₁B₁，

故∠A₁CD为直线A₁C与平面BCC₁B₁所成的角.

在矩形BCC₁B₁中，DC=.

∵四边形A₁ABB₁是菱形，∠A₁AB=60°,

AB=4，∴A₁D=2，

∴tan∠A₁CD===.

(3)解　 ∵B₁C₁∥BC，∴B₁C₁∥平面A₁BC，

∴C₁到平面A₁BC的距离即为B₁到平面A₁BC的距离.

连接AB₁，AB₁与A₁B交于点O，

∵四边形A₁ABB₁是菱形，∴B₁O⊥A₁B.

∵平面CA₁B⊥平面A₁BB₁，∴B₁O⊥平面A₁BC.

∴B₁O即为C₁到平面A₁BC的距离.

∵B₁O=2，∴C₁到平面A₁BC的距离为2.

16.(14分)一个多面体的直观图和三视图(正视图、左视图、俯视图)如图所示，M、N分别为A₁B、B₁C₁的中点.求证：

(1)MN∥平面ACC₁A₁；

(2)MN⊥平面A₁BC.

证明　 由题意可知，这个几何体是直三棱柱，

且AC⊥BC，AC=BC=CC₁.

(1)连接AC₁，AB₁.

由直三棱柱的性质得AA₁⊥平面A₁B₁C₁，

所以AA₁⊥A₁B₁，则四边形ABB₁A₁为矩形.

由矩形性质得AB₁过A₁B的中点M.

在△AB₁C₁中，由中位线性质得MN∥AC₁，

又AC₁平面ACC₁A₁，

MN平面ACC₁A₁，

所以MN∥平面ACC₁A₁.

(2)因为BC⊥平面ACC₁A₁，AC₁平面ACC₁A₁，

所以BC⊥AC₁.

在正方形ACC₁A₁中，A₁C⊥AC₁.

又因为BC∩A₁C=C，

所以AC₁⊥平面A₁BC.

由MN∥AC₁，得MN⊥平面A₁BC.

15.(2008·江苏，16)(14分)在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，且E，F分别是AB，BD的中点，求证：

(1)直线EF∥平面ACD;

(2)平面EFC⊥平面BCD.

证明　 (1)∵E,F分别是AB,BD的中点,

∴EF是△ABD的中位线,∴EF∥AD.

∵EF平面ACD,AD平面ACD,

∴直线EF∥平面ACD.

(2)∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD.

∵CB=CD,F是BD的中点,

∴CF⊥BD.又EF∩CF=F,

∴BD⊥平面EFC.

∵BD平面BCD,

∴平面EFC⊥平面BCD.

14. 在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB₁=3a，D是A₁C₁的中点，点E在棱AA₁上，要使CE⊥平面B₁DE，则AE=　　　　　　 .　

答案　 a或2a

13.若l、m、n是互不相同的空间直线，、是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是　　　　　　　 (填序号).

①若∥,l,n，则l∥n

②若⊥，l,则l⊥

③若l⊥n,m⊥n,则l∥m

④若l⊥,l∥,则⊥

答案　 ④