23. (本题满分10分)
对于正整数≥2,用
表示关于
的一元二次方程
有实数根的有序数组
的组数,其中
(
和
可以相等);对于随机选取的
(
和
可以相等),记
为关于
的一元二次方程
有实数根的概率。
(1)求和
;
(2)求证:对任意正整数≥2,有
.
[解析] [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理,考查探究能力。满分10分。
22.(本题满分10分)
在平面直角坐标系中,抛物线C的顶点在原点,经过点A(2,2),其焦点F在
轴上。
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)求过点F,且与直线OA垂直的直线的方程;
(3)设过点的直线交抛物线C于D、E两点,ME=2DM,记D和E两点间的距离为
,求
关于
的表达式。
[解析] [必做题]本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识,考查运算求解能力。满分10分。
21.[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做两题,每小题10分,共计20分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A.选修4 - 1:几何证明选讲
如图,在四边形ABCD中,△ABC≌△BAD.
求证:AB∥CD.
[解析] 本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识,考查推理论证能力。满分10分。
证明:由△ABC≌△BAD得∠ACB=∠BDA,故A、B、C、D四点共圆,从而∠CBA=∠CDB。再由△ABC≌△BAD得∠CAB=∠DBA。因此∠DBA=∠CDB,所以AB∥CD。
B. 选修4 - 2:矩阵与变换
求矩阵的逆矩阵.
[解析] 本小题主要考查逆矩阵的求法,考查运算求解能力。满分10分。
解:设矩阵A的逆矩阵为则
即故
解得:,
从而A的逆矩阵为.
C. 选修4 - 4:坐标系与参数方程
已知曲线C的参数方程为(
为参数,
).
求曲线C的普通方程。
[解析] 本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识,考查转化问题的能力。满分10分。
解:因为所以
故曲线C的普通方程为:.
D. 选修4 - 5:不等式选讲
设≥
>0,求证:
≥
.
[解析] 本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法,考查代数式的变形能力。满分10分。
证明:
因为≥
>0,所以
≥0,
>0,从而
≥0,
即≥
.
[必做题]第22题、第23题,每题10分,共计20分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
20.(本小题满分16分)
设为实数,函数
.
(1)若,求
的取值范围;
(2)求的最小值;
(3)设函数,直接写出(不需给出演算步骤)不等式
的解集.
[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识,考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分
(1)若,则
(2)当时,
当时,
综上
(3)时,
得
,
当时,
;
当时,△>0,得:
讨论得:当时,解集为
;
当时,解集为
;
当时,解集为
.
数学Ⅱ(附加题)
参考公式:
18.(本小题满分16分)
在平面直角坐标系中,已知圆
和圆
.
(1)若直线
过点
,且被圆
截得的弦长为
,求直线
的方程;
(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和
,它们分别与圆
和圆
相交,且直线
被圆
截得的弦长与直线
被圆
截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标。
[解析] 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式,考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分16分。
(1)设直线的方程为:
,即
由垂径定理,得:圆心到直线
的距离
,
结合点到直线距离公式,得:
化简得:
求直线的方程为:
或
,即
或
(2) 设点P坐标为,直线
、
的方程分别为:
,即:
因为直线被圆
截得的弦长与直线
被圆
截得的弦长相等,两圆半径相等。由垂径定理,得::圆心
到直线
与
直线
的距离相等。
故有:,
化简得:
关于的方程有无穷多解,有:
解之得:点P坐标为或
。
17.(本小题满分14分)
设是公差不为零的等差数列,
为其前
项和,满足
。
学
(1)求数列的通项公式及前
项和
;
(2)试求所有的正整数,使得
为数列
中的项。
[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识,考查运算和求解的能力。满分14分。
(1)设公差为,则
,由性质得
,因为
,所以
,即
,又由
得
,解得
,
,
(2) (方法一)=
,设
,
则=
, 所以
为8的约数
(方法二)因为为数列
中的项,
故为整数,又由(1)知:
为奇数,所以
经检验,符合题意的正整数只有。
16.(本小题满分14分)
如图,在直三棱柱
中,
、
分别是
、
的中点,点
在
上,
。
求证:(1)EF∥平面ABC;
(2)平面平面
.
[解析]
本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系,考查空间想象能力、推理论证能力。满分14分。
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