(一)等差数列、等比数列的通项公式、求和公式的应用以及等差、等比数列的基本性质一直是高考的重点内容,也会是今年高考的重点.对数列部分的考查一方面以小题考查数列的基本知识;另一方面以解答题形式考查等差、等比数列的概念、通项公式以及前项和公式.解答题作为压轴题的可能性较大,与不等式、数学归纳法、函数等一起综合考查学生运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证、运算等能力以及分析问题、解决问题的能力.具体地:
1. 数列中与的关系一直是高考的热点,求数列的通项公式是最为常见的题目,要切实注意与的关系.
2.探索性问题在数列中考查较多,试题没有给出结论,需要考生猜出或自己找出结论,然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求.
3.等差、等比数列的基本知识必考.这类考题既有选择题、填空题,又有解答题;有容易题、中等题,也有难题。
4.求和问题也是常见的试题,等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握,还应该掌握一些特殊数列的求和.
5.将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点,从本章在高考中所占的分值来看,一年比一年多,而且都注重能力的考查.
6.有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点,也是考查的难点.另外数列与程序框图的综合题也应引起重视.
1(天津市汉沽一中2009届月考文7).已知是等差数列,,,则该数列前10项和等于( )
A.64 B.100 C.110 D.120
[解析]设公差为,则由已知得,
.
[答案]B.
2(辽宁省部分重点中学协作体2008年高考模拟).设等差数列的前n项和为,则( )
A.18 B.17 C.16 D.15
[解析]等差数列中,公差,.[答案]A.
3(宁波市2008学年度第一学期期末试卷10).如图,一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳,若它停在奇数点上,则下一次沿顺时针方向跳两个点;若停在偶数点上,则下一次沿逆时针方向跳一个点,若青蛙从这点开始跳,则经2009次跳后它停在的点所对应的数为( )
A. B. C. D.
[解析]5-2-1-3-5,周期为4,2009=4×502+1,经过2009次跳后它停在的点所对应的数为2.
[答案]B.
4(2008~2009学年福建高考样卷·理).已知等比数列中,则其前3项的和的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析]设公比为,,由或,所以取值范围为.
[答案]D.
5(2008~2009学年福州质检·理).,则
[解析]
.
[答案]2236.
6(温州十校2008学年度第一学期期中高三数学试题理).已知数列的前n项的和满足,则= .
[解析]由条件得:, ,则,时,.
[答案].
7(浙江省杭州市2009年第一次高考科目教学质量检测数学试题卷理科).数列中,,(是不为零的常数,),且成等比数列.
(1)求的值;
(2)求的通项公式;
(3)求数列的前项之和.
[解析](1),,,
因为,,成等比数列,
所以,
解得或.
∵c≠0,∴.
(2)当时,由于
,,,
所以.
又,,故.
当时,上式也成立,
所以.
(3)令
……①
……②
①-②得:
8(一中2008-2009月考理18).已知数列{}中,在直线y=x上,其中n=1,2,3….
(1)令求证数列是等比数列;
(2)求数列的通项;
⑶ 设的前n项和,是否存在实数,使得数列为等差数列?若存在,试求出.若不存在,则说明理由.
[解析](I)由已知得
又
是以为首项,以为公比的等比数列.
(II)由(I)知,
将以上各式相加得:
(III)解法一:
存在,使数列是等差数列.
数列是等差数列的充要条件是、是常数
即
又
当且仅当,即时,数列为等差数列.
解法二:
存在,使数列是等差数列.
由(I)、(II)知,
又
当且仅当时,数列是等差数列.
9(2008-2009学年山东师大附中高三数学模拟考试试题文科数学21).已知函数,设曲线在点处的切线与轴的交点为,其中为正实数 (1)用表示; (2),若,试证明数列为等比数列,并求数列的通项公式; (3)若数列的前项和,记数列的前项和,求. [解析](1)由题可得,所以在曲线上点处的切线方程为
,即
令,得,即
由题意得,所以
(2)因为,所以
即,所以数列为等比数列故 ---8分
(3)当时,
当时,
所以数列的通项公式为,故数列的通项公式为
①
①的 ②
①②得
故 .
10(广州市越秀区2009年高三摸底调研理21).已知(m为常数,m>0且),设是首项为4,公差为2的等差数列.
(1)求证:数列{an}是等比数列;
(2)若bn=an·,且数列{bn}的前n项和Sn,当时,求Sn;
(3)若cn=,问是否存在m,使得{cn}中每一项恒小于它后面的项?
若存在,求出m的范围;若不存在,说明理由.
[解析](1)由题意 即
∴
∴ ∵m>0且,∴m2为非零常数,
∴数列{an}是以m4为首项,m2为公比的等比数列
(2)由题意,
当
∴ ①
①式两端同乘以2,得
②
②-①并整理,得
=
…10分
(3)由题意
要使对一切成立,即 对一切 成立,
①当m>1时, 成立;
②当0<m<1时,
∴对一切 成立,只需,
解得 , 考虑到0<m<1, ∴0<m<
综上,当0<m<或m>1时,数列{cn}中每一项恒小于它后面的项.
1(2008年广东卷2).记等差数列的前项和为,若,,则( )
A.16 B.24 C.36 D.48
[解析],,故.
[答案]D.
2(2008年浙江卷6).已知是等比数列,,则=( )
(A)16() (B)16()
(C)() (D)()
[解析]由,解得,
数列仍是等比数列:其首项是公比为,
所以.
[答案]C.
3(2007年天津理8).设等差数列的公差不为0,.若是与的等比中项,则( )
A.2 B.4 C.6 D.8
[解析]是与的等比中项,则,
又,则,(舍负).
[答案]B.
4(2008年江苏卷10).将全体正整数排成一个三角形数阵:
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
. . . . . . .
按照以上排列的规律,第n 行(n ≥3)从左向右的第3 个数为 .
[解析]前n-1 行共有正整数1+2+…+(n-1)个,即个,因此第n 行第3 个数是全体正整数中第+3个,即为.
[答案].
5(2007年浙江文19) .已知数列{}中的相邻两项、是关于x的方程
的两个根,且≤ (k =1,2,3,…).
(I)求及 (n≥4)(不必证明);
(Ⅱ)求数列{}的前2n项和S2n.
[解析] (I)方程的两个根为.
当k=1时,,所以;
当k=2时,,所以;当k=3时,,所以;
当k=4时,,所以;
因为n≥4时,,所以
(Ⅱ)
=.
6(2007年山东理17).设数列满足,.
(Ⅰ)求数列的通项;
(Ⅱ)设,求数列的前项和.
[解析](I)
,
.
验证时也满足上式,.
(II) , ,
,
则,
,所以.
7(2008年安徽卷21).设数列满足为实数
(Ⅰ)证明:对任意成立的充分必要条件是;
(Ⅱ)设,证明:;
(Ⅲ)设,证明:
[解析](Ⅰ)必要性 : ,
又 ,即
充分性 :设 ,对用数学归纳法证明
当时,.假设
则,且
,由数学归纳法知对所有成立
(Ⅱ) 设 ,当时,,结论成立
当 时,
,由(1)知,所以 且
(Ⅲ)设 ,当时,,结论成立
当时,由(2)知
.
2.等差数列、等比数列
(1) 理解等差数列、等比数列的概念.
(2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.
(3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.
④ 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.
高考对数列的考查比较全面,重点是等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、等差(比)中项及等差和等比数列性质的灵活运用;在能力要求上,主要考查学生的运算能力,逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力,其中考查思维能力是支柱,运算能力是主体,应用是归宿.
主要考点有:
1.数列的概念和简单表示法
(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).
(2)了解数列是自变量为正整数的一类函数.
10.(2000春全国)已知抛物线y2=4px(p>0),O为顶点,A、B为抛物线上的两动点,且满足OA⊥OB,如果OM⊥AB于M点,求点M的轨迹方程.
分析:点M随着A、B两点的变化而变化,点M是OM与AB的交点,而A、B为抛物线上的动点,点M与A、B的直接关系不明显,因此需引入参数.
解法一:设M(x0,y0),则kOM=,kAB=-,
直线AB方程是y=-(x-x0)+y0.
由y2=4px可得x=,代入上式整理得
x0y2-(4py0)y-4py02-4px02=0. ①
此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标,
∴A(,y1)、B(,y2).
∵OA⊥OB,∴kOA·kOB=-1.
∴·=-1.∴y1y2=-16p2.
根据根与系数的关系,由①可得
y1·y2=,
∴=16p2.
化简,得x02+y02-4px0=0,
即x2+y2-4px=0(除去原点)为所求.
∴点M的轨迹是以(2p,0)为圆心,以2p为半径的圆,去掉坐标原点.
解法二:设M(x,y),直线AB方程为y=kx+b,
由OM⊥AB得k=-.
由y2=4px及y=kx+b消去y,得
k2x2+x(2kb-4p)+b2=0.
所以x1x2=.消去x,得ky2-4py+4pb=0.
所以y1y2=.由OA⊥OB,
得y1y2=-x1x2,
所以=-,b=-4kp.
故y=kx+b=k(x-4p).
用k=-代入,得
x2+y2-4px=0(x≠0).
解法三:设点M的坐标为(x,y),直线OA的方程为y=kx,
|
|
y2=4px,
类似地可得B点的坐标为(4pk2,-4pk),
从而知当k≠±1时,
kAB==.
故得直线AB的方程为y+4pk=(x-4pk2),
即(-k)y+4p=x, ①
直线OM的方程为y=-(-k)x. ②
可知M点的坐标同时满足①②,
由①及②消去k便得4px=x2+y2,
即(x-2p)2+y2=4p2,但x≠0,
当k=±1时,容易验证M点的坐标仍适合上述方程.
故点M的轨迹方程为(x-2p)2+y2=4p2(x≠0),
它表示以点(2p,0)为圆心,以2p为半径的圆.
[探索题](2006辽宁)
已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为
(I)证明线段是圆的直径;
(II)当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时,求P的值。
(I)证法一:∵,
∴,
即,
整理得.
∴ 1
设点是以线段为直径得圆上得任意一点,则
即
展开上式并将1带入得
故线段是圆的直径.
证法二:同法一得: 1
以 AB 为直径的圆的方程是
,
展开,并将①代入得
所以线段 AB 是圆 C 的直径
(II)解法一:设圆的圆心为则
∵
∴
又∵=0
∴ ∴
∵,∴, ∴
∴
,
所以圆心的轨迹方程为:
设圆心到直线 的距离为,则
当时,有最小值,由题设得,∴
解法二:同法一得:圆心的轨迹方程为:
设直线与的距离为,则
当与仅有一个公共点时,
该点到的距离最小,最小值为,
由 ②
③
消x得,
由
得 (∵)
解法三:设圆的圆心为,则
若圆心到直线的距离为,那
∵
∴
又∵, ,
∵,∴
∴
当时,有最小值,由题设得,
∴
9.(本小题满分14分)(2005年春考·北京卷·理18)
如图,O为坐标原点,直线在轴和轴上的截距分别是和,且交抛物线于、两点.
(1)写出直线的截距式方程;
(2)证明:;
(3)当时,求的大小.
(Ⅰ)解:直线l的截距式方程为 ①
(Ⅱ)证明:由①及y2=2px消去x可得
②
点M,N的纵坐标y1, y2为②的两个根,故
(Ⅲ)解:设OM,ON的斜率分别为k1,k2,
8.(本小题满分14分)(2005年高考·广东卷17)
在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO(如图4所示).
(Ⅰ)求△AOB的重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程;
(Ⅱ)△AOB的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
解:(I)设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2), 则 …(1)
∵OA⊥OB,即, ……(2)
又点A,B在抛物线上,有,代入(2)化简得
∴,
所以重心为G的轨迹方程为.
(II)
由(I)得
当且仅当即时,.
所以△AOB的面积存在最小值,且最小值为1.
7.(2005春北京文)
如图,O为坐标原点,过点P(2,0)且斜率为k的直线l交抛物线y2=2x于M(x1,y1),N(x2, y2)两点.
(1)求x1x2与y1y2的值;
(2)求证:OM⊥ON.
(Ⅰ)解:直线l的方程为
①
代入y2=2x消去y可得
②
点M,N的横坐标x1与 x2是②的两个根,
由韦达定理得
(Ⅱ)证明:设OM,ON的斜率分别为k1, k2,
6.由抛物线方程y2=10x可知②⑤满足条件.答案:②⑤
[解答题]
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com