1．(2008年广东卷，数学理科，5，数学文科，7)将正三棱柱截去三个角(如图1所示分别是三边的中点)得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( 　)

[解析]本题考查几何体的三视图，解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案.

[答案]A

09考试大纲中，对本节的要求如下：

(1)空间几何体

　① 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

　② 能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.

　③ 会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.

　④ 会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求).

　⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式).

　(2)点、直线、平面之间的位置关系

　① 理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.

　◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.

　◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.

　◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

　◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

　◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.

　② 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.

　理解以下判定定理.

　◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.

　◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.

　◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.

　◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.

　理解以下性质定理，并能够证明.

　◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行.

　◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.

　◆垂直于同一个平面的两条直线平行.

　◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.

③ 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.

2．08届莆田四中5月份第2次模拟试卷(本小题满分12分)已知，如图四棱锥中，底面是平行四边形，，垂足在上，且，，，，是的中点.

(1)求异面直线与所成的角；

(2)求点到平面的距离；

(3)若点是棱上一点，且，求的值.

解法一：(1)在平面内，过点作交于，连结，

则(或其补角)就是异面直线与所成的角.

在中，，

由余弦定理得，=

∴异面直线与所成的角为arccos

(2)∵平面，平面∴平面⊥平面

在平面内，过作，交延长线于，则⊥平面

∴的长就是点到平面的距离

在，∴点到平面的距离为

(3)在平面内，过作，为垂足，连结，又因为

∴平面， ∴

由平面⊥平面，∴⊥平面 ∴

由得：

解法二：(1)由已知∴

如图所示，以G点为原点建立空间直角坐标系o-xyz，则

，，故

∴异面直线与所成的角为arccos　 4分

(2)平面PBG的单位法向量

∴点到平面的距离为　 ------------- 8分

(3)设

在平面内过点作，为垂足，则 　　-------------　 12分

2．宁夏银川一中2008届高三年级第三次模拟考试

(本小题共12分)

在三棱锥中，，

.

　 (Ⅰ)证明：⊥；

　 (Ⅱ)求二面角A-BC-S的大小；

　 (Ⅲ)求直线AB与平面SBC所成角的正弦值.

解法一：

解：(Ⅰ)且平面.-------------2分　　　　　　　　　

为在平面内的射影.　　　　 --------3分　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

又⊥, ∴⊥.　　　　　　 ----------4分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)⊥，又⊥，

∴为所求二面角的平面角.　　　　 -------6分

又∵==4,

∴=4 . 　∵=2 , ∴=60°. -------8分

即二面角大小为60°.

(Ⅲ)过作于D，连结,　　　　　　

由(Ⅱ)得平面平面,又平面,

∴平面平面,且平面平面,

∴平面.

∴为在平面内的射影.

. --------10分

在中，，

在中，，.

∴ =.　　　　　　　　　　　 ------------11分　　　　　　　　　　　　

所以直线与平面所成角的大小为.　　　　 ----12分　　　　　　　　

解法二：解：(Ⅰ)由已知，

以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.　　　　　　　　　　 　　　　　

则 ,.　　　　　　 -------2分　

则，.

.　　　

.　　　 ----------------4分

　 (Ⅱ)，平面.

是平面的法向量. -------5分

设侧面的法向量为,

,.

,

　 　　.令则.

则得平面的一个法向量.　　　　　　　 ---------6分

.　　　　

即二面角大小为60°.　　 ----------8分

(Ⅲ)由(II)可知是平面的一个法向量.　　 --------10分

又， .　 -----11分　　　　　　　　　　

所以直线与平面所成角为　　　　　 ---------12分

1．山东省莱芜市2008届高三年级期末考试

(本小题满分20分)如图，在三棱锥S-ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设PM=AC=1，∠ACB=90°，直线AM与直线SC所成的角为60°。

　 　 (1)求证：平面MAP⊥平面SAC。

　 (2)(文)求二面角M-AC-B的平面角的正切值；

(理)求二面角M-AB-C的平面角的余弦值；

　 (3)(文)求多面体PMABC的体积。

(理)求AP和CM所成角的余弦值。

解：(I)∵SC⊥平面ABC，SC⊥BC，又∵∠ACB=90°

∴AC⊥BC，AC∩SC=C，BC⊥平面SAC，…………1分

又∵P，M是SC、SB的中点

∴PM∥BC，PM⊥面SAC，∴面MAP⊥面SAC，…………1分

　 (II)(文科)∵AC⊥平面SAC，∴面MAP⊥面SAC.…………3分

　 ∴AC⊥CM，AC⊥CB，从而∠MCB为二面角M-ACB的平面角，

∵直线AM与直线PC所成的角为60°

　　 ∴过点M作MN⊥CB于N点，连结AN，

则∠AMN=60°.……………………4分

　　 在△CAN中，由勾股定理得

　　 在Rt△AMN中，

　　 =………………6分

　　 在Rt△CNM中，

　　 故二面角M-AB-C的正切值为.…………………………8分

　　 (理科)如图以C为原点建立如图所示空间直角坐标系C-xyz.

　　 则

　　 ……………………4分

　 　　 设平面MAB的一个法向量为，则

　　 由

　　 取z=……………………6分

　　 取平面ABC的一个法向量为

则

由图知二面角M-AB-C为锐二面角，

故二面角M-AB-C的余弦值为………………8分

其他方法可参考本解法相应给分。

(3)(文科)多面体PMABC就是四棱锥A-BCPM

V_PMABC=B_A-PMBC=

………………12分

(理科)………………9分

∴AP与CM所成角的余弦值为………………12分

5．山东省潍坊市2008年5月高三教学质量检测(本小题满分12分)

　　 　　 如图，三棱柱A₁B₁C₁-ABC的三视图中，主视图和左视图是全等的矩形，俯视图是等腰直角三角形，已知点M是A₁B₁的中点.

　 (1)求证：B₁C∥平面AC₁M；

　 (2)设AC与平面AC₁M的夹角为θ，求sinθ.

解：由三视图可知三棱柱A₁B₁C₁-ABC为直三棱柱，侧梭长为2，底面是等腰直角三角形，AC=BC=1.…………2分

　 　　 如图建立空间直角坐标系C-xyz，

　　 则C(0，0，0)，C₁(0，0，2)，

　　 A(1，0，0)，B₁(0，1，2)，A₁(1，0，2)

　　 ∵M为A₁B₁中点，

　　 …………………………4分

　 (1)

　　 ……………………6分

　　 ∥面AC₁M，又∵B₁C面AC₁M，

　　 ∴B₁C∥面AC₁M.…………………………8分

　 (2)设平面AC₁M的一个法向量为

　　 …………………………………………………………10分

　　 则…………………………12分

4．山东省烟台市2008年高三适应性练习

(12分)如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD=90°，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中 点。

　 (1)求证：PB//平面EFG；

　 (2)求异面直线EG与BD所成的角的余弦值；

　 　 (3)在线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离为，若存在，求出CQ的值；若不存在，请说明理由。

解法一：(1)证明：取AB为中点H，连结GH，HE，

∵E，F，G分别是线段PA、PD、CD的中点，

∴GH//AD//EF，

∴E，F，G，H四点共面。……………………1分

又H为AB中点，

∴EH//PB。……………………2分

又EH面EFG，PB平面EFG，

∴PB//面EFG。……………………4分

(2)解：取BC的中点M，连结GM、AM、EM，则GM//BD，

∴∠EGM(或其补角)就是异面直线EG与BD所成的角。……………………5分

在Rt△MAE中，

同理

∴在Rt△MGE中，………………6分

故异面直线EG与BD所成角的余弦值为……………………8分

(3)假设在线段CD上存在一点Q，满足题设条件，过点Q作OR⊥AB于R，连结RE，则QR//AD。

　 ∵ABCD是正方形，△PAD是直角三角形 ，且PA=AD=2，

∴AD⊥AB，AD⊥PA

又ABPA=A，

∴AD⊥平面PAB。

又∵E，F分别是PA，PD中点，

∴EF//AD，

∴EF⊥平面PAB

又EF面EFQ，

∴EFQ⊥平面PAB。

过A作AT⊥ER于T，则AT⊥面EFQ，

∴AT就是点A到平面EFQ的距离。……………………10分

设

在Rt△EAR中，AT

解得。

故存在点Q，当时，点A到平面EFQ的距离为………………12分

解法二：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，

则A(0，0，0)，B(2，0，0，)，C(2，2，0)，

　 D(0，2，0)P(0，0，2)，E(0，0，1)，

F(0，1，1)，G(1，2，0)。

(1)证明：∵

………………1分

设

即(2，0，-2)=S(0，-1，0)+t(1，1，-1)

解得s=t=2

∴

又∵

∴共面。………………3分

∵

∴PB//平面EFG。……………………4分

(2)解∵……………………5分

∴

故平面直线EG与BD所成角的余弦值为………………8分

(3)假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件。

令，则DQ=2－m

∴点Q的坐标为()

∴

而，则

∴

令……………………10分

又(0，0，1)

∴点A到平面EFQ的距离…………11分

即

∴不合题意，舍去。

故存在点Q，当点A到平面EFQ的距离为………………12分

考点五、利用向量求线面角

3．山东省郓城一中2007-2008学年第一学期高三期末考试

(理做Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ；文做Ⅰ、Ⅳ)

如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F

　 为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

　 (Ⅰ)求证：AE⊥平面BCE；

　 (Ⅱ)求二面角B-AC-E的余弦值；

　 (Ⅲ)求点D到平面ACE的距离.

　 (Ⅳ)求证：平面BDF⊥平面ABCD

解法一：(Ⅰ)平面ACE.　 　

∵二面角D-AB-E为直二面角，且， 平面ABE.

(Ⅱ)连结BD交AC于C，连结FG，

∵正方形ABCD边长为2，∴BG⊥AC，BG=，

平面ACE，

(Ⅲ)过点E作交AB于点O. OE=1.

∵二面角D-AB-E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD.

设D到平面ACE的距离为h，

平面BCE，　

　 ∴点D到平面ACE的距离为

解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)以线段AB的中点为原点O，OE所在直

线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行

于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系

O-xyz，如图.

面BCE，BE面BCE， ，

在的中点，

　设平面AEC的一个法向量为，

则解得

　　 令得是平面AEC的一个法向量.

　　 又平面BAC的一个法向量为，

　　 ∴二面角B-AC-E的大小为

(III)∵AD//z轴，AD=2，∴，

∴点D到平面ACE的距离

考点四、利用向量证明平行

2. 2008年金华一中高考模拟试卷(本小题满分14分)

如图，已知正三棱柱， 是线段上一点，且∥平面。记。

　　 (1)求的值；

(2)若∠，求二面角的大小；

解：(1)连结交于O，则O是的中点，连结DO。

∵∥平面，∴∥DO　 …………………………

∴D为AC中点，∴…………………

(2)设正三棱柱底面边长为2，则DC = 1。

　∵∠ = 60°，∴= 。

作DE⊥BC于E。∵平面⊥平面ABC，

∴DE⊥平面，作EF⊥于F，连结DF，则 DF⊥

∴∠DFE是二面角D--C的平面角……………………

在Rt△DEC中，DE=，在Rt△BFE中，EF = BE·sin∠

∴在Rt△DEF中，tan∠DFE =

∴二面角D－－C的大小为arctan………………

解法二：以AC的中D为原点建立坐标系，如图，

设| AD | = 1，∵∠ =60°∴|| =。

　 则A(1，0，0)，B(0，，0)，C(-1，0，0)，

(1，0)， ，

(2)=(-1，0，)，

　　 　设平面BD的法向量为，则，　 　 即

　 则有= 0令z = 1,则= (，0，1)………………

设平面BC的法向量为,=(0，0，)，

　 　 　　即　 ∴z′= 0

　　 　 令y = -1，解得= (，-1，0)，，

二面角D-B-C的大小为arc cos　　 …………

考点三、利用向量求距离

考点一：利用向量证明垂直

1．山东省淄博市2008年5月高三模拟试题(本小题满分分)

已知梯形中，∥，，　 ，、分别是、上的点，∥，，是的中点.沿将梯形翻折，使平面⊥平面 (如图) .

(Ⅰ) 当时，求证：⊥ ；

(Ⅱ) 若以、、、为顶点的三棱锥的体积

记为 ，求的最大值；

(Ⅲ)当取得最大值时，求二面角的余弦值.

解:(Ⅰ)(法一)作于，连，　

由平面平面知　 平面

而平面，故又四边形

为正方形　　　　　　 ∴　　

又，故平面　

而平面　　 ∴　 .　　　

(或者直接利用三垂线定理得出结果)

(法二)∵　 平面平面

　 ∴　⊥面平面

∴ ⊥, ⊥,又⊥

故可如图建立空间坐标系．则，，　

∴　

∴　 　.　

(Ⅱ) ∵　，面面　

∴ 面

又由(Ⅰ)平面　 ∴　 　　　　

所以 ＝

即时有最大值为．

(Ⅲ)(法一)作于，作，连

由三垂线定理知

∴　 是二面角的平面

角的补角　　

由∽，知

而，

∴　　又

∴　在中，

因为∠是锐角　 ∴∠＝　

而∠是二面角的平面角的补角

故二面角的余弦值为－.

(法二)设平面的法向量为

∵　 ,，，　

∴　 　

则　　 即

取 　则 　　∴　 　

面的一个法向量为

则<> 　

由于所求二面角的平面角为钝角

所以，此二面角的余弦值为－.　

考点二、利用向量求二面角