1.已知向量a=(2,3),b=(-1,2)，若ma+nb与a-2b共线，则=　　　　 .

答案　 -

12.(2008·湛江模拟)如图所示，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=4，

E是棱CC₁上的点，且BE⊥B₁C.

(1)求CE的长；

(2)求证：A₁C⊥平面BED；

(3)求A₁B与平面BDE所成角的正弦值.

(1)解　 如图所示，以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D-xyz.

∴D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，

C(0，2，0)，A₁(2，0，4)，

B₁(2，2，4)，C₁(0，2，4)，D₁(0，0，4).

设E点坐标为(0，2，t)，则=(-2，0，t)，=(-2，0，-4).

∵BE⊥B₁C，

∴·=4+0-4t=0.∴t=1，故CE=1.

(2)证明　 由(1)得，E(0，2，1)，=(-2，0，1)，

又=(-2，2，-4)，=(2，2，0)，

∴·=4+0-4=0，

且·=-4+4+0=0.

∴⊥且⊥，即A₁C⊥DB，A₁C⊥BE，

又∵DB∩BE=B，∴A₁C⊥平面BDE.

即A₁C⊥平面BED.

(3)解　 由(2)知=(-2，2，-4)是平面BDE的一个法向量.又=(0，2，-4),

∴cos〈,〉==.

∴A₁B与平面BDE所成角的正弦值为.

11.如图所示，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，

OP⊥底面ABC.

(1)若k=1，试求异面直线PA与BD所成角余弦值的大小；

(2)当k取何值时，二面角O-PC-B的大小为？

解　 ∵OP⊥平面ABC，又OA=OC，AB=BC，

从而OA⊥OB，OB⊥OP，OA⊥OP，

以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系O-xyz.

(1)设AB=a，则PA=a，PO=a，

A(a，0，0)，B(0，a，0)，

C(-a，0，0)，P(0，0，a)，

则D(-a，0，a).

∵=(a，0，-a )，=(-a，-a，a)，

∴cos〈,〉===-,

则异面直线PA与BD所成角的余弦值的大小为.

(2)设AB=a，OP=h，∵OB⊥平面POC，

∴=(0，a，0)为平面POC的一个法向量.

不妨设平面PBC的一个法向量为n=(x，y，z)，

∵A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(-a，0，0)，P(0，0，h)，

∴=(-a,- a,0),=(- a,0,-h),

由

不妨令x=1，则y=-1，z=-，

即n=(1,-1,- ),则cos=

==2+=4h=a,

∴PA===a,

而AB=kPA,∴k=.

故当k=时,二面角O-PC-B的大小为.

10.在五棱锥P-ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=2a，BC=DE=a，∠EAB=∠ABC=

∠DEA=90°.

(1)求证：PA⊥平面ABCDE；

(2)求二面角A-PD-E的余弦值.

(1)证明　 以A点为坐标原点，以AB、AE、AP所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，则由已知得

A(0，0，0)，P(0，0，2a)，

B(2a，0，0)，C(2a，a，0)，

D(a，2a，0)，E(0，2a，0).

∴=(0，0，2a)，=(2a，0，0)，=(0，2a，0)，

∴·=0·2a+0·0+2a·0=0，

∴⊥.同理⊥.

又∵AB∩AE=A，∴PA⊥平面ABCDE.

(2)解　 设平面PAD的法向量为m=(1,y,z),

则m·=0，得a+2ay=0，∴y=-.

又m·=0，得2az=0，∴z=0.

∴m=(1，-，0).

再设平面PDE的法向量为n=(x,1,z),

而=(a，0，0)，=(a，2a，-2a)，

则n·=0，得ax=0，∴x=0.

又n·=0，得ax+2a-2az=0，∴z=1.

∴n=(0，1，1).

令二面角A-PD-E的平面角为，

则cos=-==，

故二面角A-PD-E的余弦值是.

9.如图所示，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，

BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，点F是AE的中点.

求AB与平面BDF所成角的正弦值.

解　 以点B为原点，BA、BC、BE所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则

B(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，2，1)，E(0，0，2)，F(1，0，1).

∴=(0，2，1)，=(1，-2，0).

设平面BDF的一个法向量为

n=(2，a，b)，

∵n⊥，n⊥，

∴

即

解得a=1，b=-2.∴n=(2，1，-2).

设AB与平面BDF所成的角为，则法向量n与的夹角为-，

∴cos(-)===,

即sin=,故AB与平面BDF所成角的正弦值为.

8.正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角是　　 .

答案　 30°

7.如图所示，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，D是A₁C₁的中点，则直线AD与

平面B₁DC所成角的正弦值为　　　 .

答案　

6.如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，AB=BC=AA₁，∠ABC=90°，

点E、F分别是棱AB、BB₁的中点，则直线EF和BC₁所成的角是　　　　　 .

答案　 60°

5.正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E、F分别为BB₁、CD的中点，则点F到平面A₁D₁E的距离为　　　 .

答案　

4.P是二面角-AB-棱上的一点，分别在、平面上引射线PM、PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角-AB-的大小为　　　　　 .

答案　 90°