例1： 已知：x²+y²+4x-6y+13=0，x、y均为有理数，求x^y的值。

　　 分析：逆用完全乘方公式，将

　　 x²+y²+4x-6y+13化为两个完全平方式的和，利用完全平方式的非负性求出x与y的值即可。

　　 解：∵x²+y²+4x-6y+13=0，

　　 (x²+4x+4)+(y²-6y+9)=0，

　　 即(x+2)²+(y-3)²=0。

　　 ∴x+2=0，y=3=0。

　　 即x=-2，y=3。

　　 ∴x^y=(-2)³=-8。

　　 分析：本题巧妙地利用

　　 例3 已知：a+b=8，ab=16+c²，求(a-b+c)²⁰⁰²的值。

　　 分析：由已知条件无法直接求得(a-b+c)²⁰⁰²的值，可利用(a-b)²=(a+b)²-4ab确定a-b与c的关系，再计算(a-b+c)²⁰⁰²的值。

　　 解：(a-b)²=(a+b)²-4ab=8²-4(16+c²)=-4c²。

　　 即：(a-b)²+4c²=0。

　　 ∴a-b=0，c=0。

　　 ∴(a-b+c)²⁰⁰²=0。

　　 例4 已知：a、b、c、d为正有理数，且满足a⁴+b⁴+C⁴+D⁴=4abcd。

　　 求证：a=b=c=d。

　　 分析：从a⁴+b⁴+C⁴+D⁴=4abcd的特点看出可以化成完全平方形式，再寻找证明思路。

　　 证明：∵a⁴+b⁴+C⁴+D⁴=4abcd，

　　 ∴a⁴-2a²b²+b⁴+c⁴-2c²d²+d⁴+2a²b²-4abcd+2c²d²=0，

　　 (a²-b²)²+(c²-d²)²+2(ab-cd)²=0。

　　 a²-b²=0，c²-d²=0，ab-cd=0

　　 又∵a、b、c、d为正有理数，

　　 ∴a=b，c=d。代入ab-cd=0，

　　 得a²=c²，即a=c。

　　 所以有a=b=c=d。

　　 练习：

1. 已知：x²+3x+1=0。

　　 a²+b²=(a+b)²-2ab，

　　 a²+b²=(a-b)²+2ab，

　　 (a+b)²-(a-b)²=4ab，

　　 a²+b²+c²=(a+b+c)²-2(ab+ac+bc)

　　 例7. 已知，试求的值。

　　 剖析：欲求的值，只有先求得x、y的值。为此必须逆用幂的运算法则，把已知等式化为同底数幂，由指数相等列出方程组求解。

　　 解：把已知等式化为同底数幂，得：

　　 解之得：

　　 ∴原式

4. 用于比较大小

　　 例6. 比较的大小。

　　 解：

　　 显然

　　 评注：例4中如果按有理数运算顺序计算是十分繁杂的，而逆用法则却极为方便；例5通过逆用法则，也简便获解；例3、例6直接求解，很难进行，但逆用幂的运算法则，问题就迎刃而解，足见适时逆用法则的巨大威力。

3. 用于求值

　　 例5. 已知，求的值。

　　 解：原式

2. 用于计算

　　 例4. 计算：

　　 (1)；

　　 (2)

　　 解：(1)原式

　　 (2)原式

　　 在规定的情况下，各个法则都是一个恒等式，运用时既可从左边到右边，也可以从右边到左边，虽应用范围有限，但灵活度大。

1. 用于确定个位数字

　　 例3. 试确定的个位数字

　　 解：

　　 的个位数字是7

　　 有理数的加减，打破了小学数学中的加与减的严格界限，把加、减统一成加法。这都是由于引进了负数，也正是由于引进了负数，小学时我们所熟悉的许多结论在有理数范围内都不一定成立了。下面的几个问题作为本文的结尾，请同学们认真思考并做出回答：

　　 (1)“两个数相加，和一定大于或等于各个加数”吗？

　　 (2)“两个数相减，差一定小于或等于被减数”吗？

　　 (3)“一个数的3倍一定大于这个数的2倍”吗？

　　 在初次进行有理数的加减运算时，首先要分清“+”、“－”号是运算符号还是性质符号。刚开始时，最好把性质符号用括号括起来，使性质符号与运算符号分开。如：正2加上负3，应写作，不能写成“”。其次，要牢记运算的法则。第三，减法统一变加法。因为学了相反数后，减去一个数，等于加上这个数的相反数。这是有理数的减法法则，它把减法变成了加法。

　　 在小学数学中，“+”、“－”表示加号和减号。学习有理数后，“+”与“－”还表示正号与负号。

　　 我们通常把四则运算中的加(+)、减(－)、乘(×)、除(÷)号叫运算符号；把表示正负数的正(+)、负(－)号叫性质符号。另外，负(－)号除了表示上述两种意义外，还表示一个数的相反数。如：－5可表示为5的相反数，而，表示的相反数。