1.(2006天津)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( )
A.10种 B.20种 C.36种 D.52种
3. 记住一些常题型的特殊解法;如捆绑法,插空法, 排除法, 插板法,分组、分配等.
同步练习 10.3排列组全的综合应用
[选择题]
2.对于有附加条件的排列组合应用题,应掌握以下基本方法与技巧
(1)特殊元素优先安排;(2)合理分类与准确分步;(3)先选后排;(4)相邻问题捆绑处理;(5)不相邻问题插空处理;(6)定序问题排除法处理;(7)分排问题直排处理;(8)“小集团”排列问题先整体后局部;(9)构造模型;(10)正难则反,等价转化.
1.对排列、组合的应用题应遵循两个原则:一是按元素的性质进行分类;二是按事件发生的过程进行分步.
[例1]设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的五个盒子,现将这五个球放入5个盒子内
(1)只有一个盒子空着,共有多少种投放方法?
(2)没有一个盒子空着,但球的编号与盒子编号不全相同,有多少种投放方法?
(3)每个盒子内投放一球,并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的,有多少种投放方法?
解:(1) =1200(种) (2)
-1=119(种)
(3)不满足的情形:第一类,恰有一球相同的放法:×9=45
第二类,五个球的编号与盒子编号全不同的放法:
先让1号球放,1号球放到哪个盒中就让哪个球放,……
有 4×(2+3×3)=44 (种) , ∴
满足条件的放法数为:-45-44=31(种)
[例2]某运输公司有3个车队,每个车队有10辆汽车, 现从这3个车队中选派6辆汽车执行一项运输任务,每个车队至少1辆共有多少种选派方法?
分析:这里所谓不同的选派方法,只是每个车队派车数目的不同,是相同元素的分组问题--用“插板法”
解:把6个派车指标排成一排,是一种排法,有5个空,插2个板,分成3组即可,共有 =10(种)
◆拓展引伸:方程x+y+z=7有多少组正整数解?(看成7个相同的元素分给3人)
若求方程x+y+z=7有多少组自然数解呢?(让3人每人拿出1个元素,如上法分10个元素)
[例3]某学习小组有8名同学,从男生中选2人,女生中选1人参加数学、物理、化学三种竞赛,要求每科均有一人参加,共有180种不同的选法,那么该小组中共有男女同学多少人?
解:设有男生n人,女生8-n人,则有即(n-1)n(8-n)=60.
又
60的小于等于7的因数有1、2、3、4、5、6,因为n-1和n相邻,
∴n=5,8-n=3,即男生5人,女生3人,或n=6,8-n=2,即男生6人,女生2人。
◆ 提炼方法:1.引进待定的未知数,列方程求解;
2.“先取元素,后排顺序”.一类重要题型和方法。
[例4]一栋7层的楼房备有电梯,现有A,B,C,D,E五人从一楼进电梯上楼,求
(1)有且仅有一人要上7楼,且甲不在2楼下电梯的所有可能情况种数.
(2)在(1)的条件下,一层只能下1个人,共有多少种情况?
解: (1)分A上不上7楼两类:
A上7楼,有54种; A不上7楼,有4×4×43种.
共有54+4×4×43=1649种.
(2)分2楼下人和不下人两类,每类再分A上不上7楼两种情况.
2楼下人,有种; 2楼不下人,有
种
∴共有 =504种情况.
◆提炼方法:题(1)是计数原理,题(2)是排列组合,应注意区分.
[研讨.欣赏](1)一条长椅上有9个座位,3个人坐,若相邻2人之间至少有2个空椅子,共有几种不同的坐法?
(2)一条长椅上有7个座位,4个人坐,要求3个空位中,恰有2个空位相邻,共有多少种不同的坐法?
解:(1)先将3人(用×表示)与4张空椅子(用□表示)排列如图(×□□×□□×),这时共占据了7张椅子,还有2张空椅子,一是分开插入,如图中箭头所示(↓×□↓□×□↓□×↓),从4个空当中选2个插入,有C种插法;二是2张同时插入,有C
种插法,再考虑3人可交换有A
种方法.
所以,共有A(C
+C
)=60(种).
下面再看另一种构造方法:
先将3人与2张空椅子排成一排,从5个位置中选出3个位置排人,另2个位置排空椅子,有AC
种排法,再将4张空椅子中的每两张插入每两人之间,只有1种插法,所以所求的坐法数为A
·C
=60.
(2)可先让4人坐在4个位置上,有A种排法,再让2个“元素”(一个是两个作为一个整体的空位,另一个是单独的空位)插入4个人形成的5个“空当”之间,有A
种插法,所以所求的坐法数为A
·A
=480.
5.用隔板法:C=C
=36. 6. 600; 7. 18 6; 8. 8424.
4.先把标号为1,2,3,4号化工产品分别放入①②③④4个仓库内共有A44=24种放法;再把标号为5,6,7,8号化工产品对应按要求安全存放:
7放入①,8放入②,5放入③,6放入④;或者6放入①,7放入②,8放入③,5放入④两种放法.综上所述:共有A44×2=48种放法.故选B.
8. (2005浙江)从集合{O,P,Q,R,S}与{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复).每排中字母O,Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________.(用数字作答).
简答:1-3.DBBB; 3.(1)前排一个,后排一个,2C·C
=192.
(2)后排坐两个(不相邻),2(10+9+8+…+1)=110.
(3)前排坐两个,2·(6+5+…+1)+2=44个.
∴总共有192+110+44=346个.
解法二:考虑中间三个位置不坐,4号座位与8号座位不算相邻.
∴总共有A+2+2=346个.答案:B
7. (2005春北京)从-1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)=ax2+bx+c的系数,可组成不同的二次函数共有__________个,其中不同的偶函数共有__________个.(用数字作答)
6.(2006陕西) 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com