2．(2005全国卷Ⅲ)设椭圆的两个焦点分别为F_1、、F₂，过F₂作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F₁PF₂为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A．　　　　　　 B．　　　　 C．　 　　　　　 D．

[填空题]

1．(2004全国I)椭圆的两个焦点为F₁、F₂，过F₁作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点　 为P，则=　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　 D．4

4．会用方程分析解决交点、弦长和求值问题，能正确使用“点差法”及其结论。

同步练习　　　　　 8．1 椭圆方程及性质 　

[选择题]

3．要正确理解和灵活运用参数a,b,c,,e的几何意义与相互关系；

2．求椭圆方程，常用待定系数法,定义法,首先确定曲线类型和方程的形式，再由题设条件确定参数值，应“特别”掌握；

(1)当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏；

(2)两种标准方程中，总有a＞b＞0，c²=a²-b²并且椭圆的焦点总在长轴上；

1．椭圆定义是解决问题的出发点,一般地，涉及a、b、c的问题先考虑第一定义，涉及e、d及焦半径的问题行急需处理 虑第二定义；

[例1]若椭圆ax²+by²=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM(O为原点)的斜率为，且OA⊥OB，求椭圆的方程．

分析：欲求椭圆方程，需求a、b，为此需要得到关于a、b的两个方程，由OM的斜率为．OA⊥OB，易得a、b的两个方程．

解法1：设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，M(x₀，y₀)．

ax²+by²=1，

∴x₀==，y₀==1－=．

∴M(，)．

∵k_OM=，∴b=a．　　　　　　　　　　　　　　　 　 ①

∵OA⊥OB，∴·=－1．

∴x₁x₂+y₁y₂=0．

∵x₁x₂=，y₁y₂=(1－x₁)(1－x₂)，

∴y₁y₂=1－(x₁+x₂)+x₁x₂

=1－+=．

∴+=0．

∴a+b=2．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ②

由①②得a=2(－1)，b=2(－1)．

∴所求方程为2(－1)x²+2(－1)y²=1．

法2：(点差法)由ax₁+by₁=1,　 ax₂+by₂=1相减得

,即…下同法1．

提炼方法：1．设而不求，即设出A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，借助韦达定理推出b=a．．再由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0,转换出a,b的又一关系式,

2．点差法得b=a．…

[例2](2005湖南) 已知椭圆C：+＝1(a＞b＞0)的左．右焦点为F₁、F₂，离心率为e． 直线,l：y＝ex+a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F₁关于直线l的对称点，设＝λ．

(Ⅰ)证明：λ＝1－e²；

(Ⅱ)若，△MF₁F₂的周长为6；写出椭圆C的方程；(理科无此问)

(Ⅲ)确定λ的值，使得△PF₁F₂是等腰三角形．

(Ⅰ)证法一：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是．

所以点M的坐标是()．　　 由

即．

证法二：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是设M的坐标是

所以　　　 因为点M在椭圆上，所以　

即

　 解得

　 (Ⅱ)当时，，所以　 由△MF₁F_­2­­的周长为6，得

　　 所以　 椭圆方程为

(Ⅲ)解法一：因为PF₁⊥l，所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁为钝角，要使△PF₁F₂为等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|，即

　 　设点F₁到l的距离为d，由

　　 得　 所以

　　 即当△PF₁F_­2­­为等腰三角形．

解法二：因为PF₁⊥l，所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁为钝角，要使△PF₁F₂为等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|，

设点P的坐标是，

则

由|PF₁|=|F₁F₂|得

两边同时除以4a²，化简得　 从而

于是．　　 即当时，△PF₁F₂为等腰三角形．

[例3](2005春上海)(1)求右焦点坐标是，且经过点的椭圆的标准方程；

(2)已知椭圆的方程是． 设斜率为的直线，交椭圆于两点，的中点为． 证明：当直线平行移动时，动点在一条过原点的定直线上；

(3)利用(2)所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心．

解：(1)设椭圆的标准方程为，，

　　 ∴ ，即椭圆的方程为，

　　 ∵ 点()在椭圆上，∴ ，

　　 解得 或(舍)，

　　 由此得，即椭圆的标准方程为．

　 (2)设直线的方程为，

　　 与椭圆的交点()、()，

则有，

　　 解得 ，

　　 ∵ ，∴ ，即 ．

则 ，

　　 ∴ 中点的坐标为．

　　 ∴ 线段的中点在过原点的直线 上．

(3)如图，作两条平行直线分别交椭圆于、和，并分别取、的中点，连接直线；又作两条平行直线(与前两条直线不平行)分别交椭圆于、和，并分别取、的中点，连接直线，那么直线和的交点即为椭圆中心．

[例4] (2006江西)如图,椭圆的右焦点为,过点的一动直线绕点 转动,并且交椭圆于、两点, 为线段的中点．

(1)　　　　　 求点的轨迹的方程;

(2)　　　 若在的方程中,令确定的值,使原点距椭圆的右准线最远．此时设与轴交点为,当直线绕点转动到什么位置时,三角形的面积最大?

解：如图

(1)设椭圆上的点、,又设点坐标为，则

　当不垂直轴时，

　由①-②得

　当 垂直于轴时，点即为点，满足方程(*)．

　故所求点的轨迹的方程为： ．

(2)因为,椭圆右准线方程是,原点距椭圆的右准线的距离为,

　时,上式达到最大值,所以当时,原点距椭圆的右准线最远．

　 此时．

　 设椭圆 上的点、,

　 △的面积

　 设直线的方程为,代入中,得

由韦达定理得

令,得,当取等号．

因此,当直线绕点转动到垂直轴位置时, 三角形的面积最大．

特别提醒:注意这种直线方程的设法,适用于 “含斜率不存在,而无斜率为零的情况”.

[研讨．欣赏](1)已知点P的坐标是(-1,-3)，F是椭圆的右焦点,点Q在椭圆上移动，当取最小值时，求点Q的坐标，并求出其最小值。

(2)设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，已知点P到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离是的点的坐标。 　

解(1)由椭圆方程可知a=4,b=,则c=2,,

椭圆的右准线方程为x=8　 过点Q作QQ^’于点Q^’,

过点P作PP^’于点P^’,则据椭圆的第二定义知,

,

易知当P、Q、Q^’在同一条线上时，即当Q^’与P^’点重合时，才能取得最小值，最小值为8-(-1)=9，此时点Q的纵坐标为-3，代入椭圆方程得。

　因此,当Q点运动到(2,-3)处时, 取最小值9．

(2)设所求的椭圆的直角坐标方程是．

由,解得,设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d．

则

其中,如果,　 则当y=-b时,d²取得最大值

解得b=与矛盾,　　　 故必有　　 当时d²取得最大值，　 　　　解得b=1,a=2　 所求椭圆方程为．

由可得椭圆上到点P的距离等于的点为,．

6．根据椭圆的对称性知，，同理其余两对的和也是，

又，∴ =35

5． +=1或+=1；

4．易知圆F₂的半径为c，(2a－c)²+c²=4c²，()²+2()－2=0，=－1．