2.(2005全国卷Ⅲ)设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是 ( )
A.
B.
C.
D.
[填空题]
1.(2004全国I)椭圆的两个焦点为F1、F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点 为P,则
= ( )
A. B.
C.
D.4
4.会用方程分析解决交点、弦长和求值问题,能正确使用“点差法”及其结论。
同步练习 8.1 椭圆方程及性质
[选择题]
3.要正确理解和灵活运用参数a,b,c,,e的几何意义与相互关系;
2.求椭圆方程,常用待定系数法,定义法,首先确定曲线类型和方程的形式,再由题设条件确定参数值,应“特别”掌握;
(1)当焦点位置不确定时,方程可能有两种形式,应防止遗漏;
(2)两种标准方程中,总有a>b>0,c2=a2-b2并且椭圆的焦点总在长轴上;
1.椭圆定义是解决问题的出发点,一般地,涉及a、b、c的问题先考虑第一定义,涉及e、d及焦半径的问题行急需处理 虑第二定义;
[例1]若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点,M为AB的中点,直线OM(O为原点)的斜率为,且OA⊥OB,求椭圆的方程.
分析:欲求椭圆方程,需求a、b,为此需要得到关于a、b的两个方程,由OM的斜率为.OA⊥OB,易得a、b的两个方程.
解法1:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0).
|
|
ax2+by2=1,
∴x0==
,y0=
=1-
=
.
∴M(,
).
∵kOM=,∴b=
a. ①
∵OA⊥OB,∴·
=-1.
∴x1x2+y1y2=0.
∵x1x2=,y1y2=(1-x1)(1-x2),
∴y1y2=1-(x1+x2)+x1x2
=1-+
=
.
∴+
=0.
∴a+b=2. ②
由①②得a=2(-1),b=2
(
-1).
∴所求方程为2(-1)x2+2
(
-1)y2=1.
法2:(点差法)由ax1+by1=1, ax2+by2=1相减得
,即
…下同法1.
提炼方法:1.设而不求,即设出A(x1,y1),B(x2,y2),借助韦达定理推出b=a..再由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0,转换出a,b的又一关系式,
2.点差法得b=a.…
[例2](2005湖南) 已知椭圆C:+
=1(a>b>0)的左.右焦点为F1、F2,离心率为e. 直线,l:y=ex+a与x轴.y轴分别交于点A、B,M是直线l与椭圆C的一个公共点,P是点F1关于直线l的对称点,设
=λ
.
(Ⅰ)证明:λ=1-e2;
(Ⅱ)若,△MF1F2的周长为6;写出椭圆C的方程;(理科无此问)
(Ⅲ)确定λ的值,使得△PF1F2是等腰三角形.
(Ⅰ)证法一:因为A、B分别是直线l:与x轴、y轴的交点,所以A、B的坐标分别是
.
所以点M的坐标是(). 由
即.
证法二:因为A、B分别是直线l:与x轴、y轴的交点,所以A、B的坐标分别是
设M的坐标是
所以
因为点M在椭圆上,所以
即
解得
(Ⅱ)当时,
,所以
由△MF1F2的周长为6,得
所以 椭圆方程为
(Ⅲ)解法一:因为PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角,要使△PF1F2为等腰三角形,必有|PF1|=|F1F2|,即
设点F1到l的距离为d,由
得 所以
即当△PF1F2为等腰三角形.
解法二:因为PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角,要使△PF1F2为等腰三角形,必有|PF1|=|F1F2|,
设点P的坐标是,
则
由|PF1|=|F1F2|得
两边同时除以4a2,化简得 从而
于是. 即当
时,△PF1F2为等腰三角形.
[例3](2005春上海)(1)求右焦点坐标是,且经过点
的椭圆的标准方程;
(2)已知椭圆的方程是
. 设斜率为
的直线
,交椭圆
于
两点,
的中点为
. 证明:当直线
平行移动时,动点
在一条过原点的定直线上;
(3)利用(2)所揭示的椭圆几何性质,用作图方法找出下面给定椭圆的中心,简要写出作图步骤,并在图中标出椭圆的中心.
解:(1)设椭圆的标准方程为,
,
∴ ,即椭圆的方程为
,
∵ 点()在椭圆上,∴
,
解得 或
(舍),
由此得,即椭圆的标准方程为
.
(2)设直线的方程为
,
与椭圆的交点
(
)、
(
),
则有,
解得 ,
∵ ,∴
,即
.
则 ,
∴ 中点
的坐标为
.
∴ 线段的中点
在过原点的直线
上.
(3)如图,作两条平行直线分别交椭圆于、
和
,并分别取
、
的中点
,连接直线
;又作两条平行直线(与前两条直线不平行)分别交椭圆于
、
和
,并分别取
、
的中点
,连接直线
,那么直线
和
的交点
即为椭圆中心.
[例4] (2006江西)如图,椭圆的右焦点为
,过点
的一动直线
绕点
转动,并且交椭圆于
、
两点,
为线段
的中点.
(1)
求点的轨迹
的方程;
(2)
若在的方程中,令
确定
的值,使原点距椭圆
的右准线
最远.此时设
与
轴交点为
,当直线
绕点
转动到什么位置时,三角形
的面积最大?
解:如图
(1)设椭圆上的点
、
,又设
点坐标为
,则
|
当
不垂直
轴时,
由①-②得
当
垂直于
轴时,点
即为点
,满足方程(*).
故所求点的轨迹
的方程为:
.
(2)因为,椭圆右准线
方程是
,原点距椭圆
的右准线
的距离为
,
时,上式达到最大值,所以当
时,原点距椭圆
的右准线
最远.
此时.
设椭圆 上的点
、
,
△的面积
设直线的方程为
,代入
中,得
由韦达定理得
令,得
,当
取等号.
因此,当直线绕点
转动到垂直
轴位置时, 三角形
的面积最大.
特别提醒:注意这种直线方程的设法,适用于 “含斜率不存在,而无斜率为零的情况”.
[研讨.欣赏](1)已知点P的坐标是(-1,-3),F是椭圆的右焦点,点Q在椭圆上移动,当
取最小值时,求点Q的坐标,并求出其最小值。
(2)设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,已知点P
到这个椭圆上的点的最远距离是
,求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点P的距离是
的点的坐标。
解(1)由椭圆方程可知a=4,b=,则c=2,
,
椭圆的右准线方程为x=8 过点Q作QQ’于点Q’,
过点P作PP’于点P’,则据椭圆的第二定义知,
,
易知当P、Q、Q’在同一条线上时,即当Q’与P’点重合时,才能取得最小值,最小值为8-(-1)=9,此时点Q的纵坐标为-3,代入椭圆方程得
。
因此,当Q点运动到(2,-3)处时, 取最小值9.
(2)设所求的椭圆的直角坐标方程是.
由,解得
,设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d.
则
其中,如果
, 则当y=-b时,d2取得最大值
解得b=与
矛盾, 故必有
当
时d2取得最大值,
解得b=1,a=2 所求椭圆方程为
.
由可得椭圆上到点P的距离等于
的点为
,
.
6.根据椭圆的对称性知,,同理其余两对的和也是
,
又,∴
=35
5. +
=1或
+
=1;
4.易知圆F2的半径为c,(2a-c)2+c2=4c2,()2+2(
)-2=0,
=
-1.
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