12.一天要排语文、数学、英语、生物、体育、班会六节课(上午四节，下午二节)，要求上午第一节不排体育，数学课排在上午，班会课排在下午，问共有多少种不同的排课方法？

解法一:(从数学课排不排第一节入手)

(第一类)数学排在第一节，班会课排在下午，其余四科任排，得

(第二类)数学排在上午另三节中的一节，班会排在下午，体育排在余下(不会第一节)三节中的一节，其余三科任排，得

　 共有排法(种)

解法二(从体育课入手)

(第一类)体育课在上午　

(第二类)体育课在下午　

　 共有排法(种)

[探索题]三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少?

解：设较小的两边长为x、y且x≤y，

则 　 x≤y≤11，

x+y>11，

x、y∈N^*.

当x=1时，y=11；

当x=2时，y=10，11；

当x=3时，y=9，10，11；

当x=4时，y=8，9，10，11；

当x=5时，y=7，8，9，10，11；

当x=6时，y=6，7，8，9，10，11；

当x=7时，y=7，8，9，10，11；

……

当x=11时，y=11.

所以不同三角形的个数为

1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36.

评述：本题关键是列出约束条件，然后寻找x=1，2，…，11时，y的取值个数的规律，再用分类计数原理求解.

11.用1，2，3，4，5排成一个数字不重复的五位数a₁a₂a₃a₄a₅，满足a₁<a₂，a₂>a₃，a₃<a₄，a₄>a₅的五位数有多少个？

解：因为a₂>a₁、a₃，a₄>a₃、a₅，所以a₂只能是3、4、5.

(1)若a₂=3，则a₄=5，a₅=4，a₁与a₃是1或2，这时共有A=2个符合条件的五位数.

(2)若a₂=4，则a₄=5，a₁、a₃、a₅可以是1、2、3，共有A=6个符合条件的五位数.

(3)若a₂=5，则a₄=3或4，此时分别与(1)(2)情况相同.

所以，满足条件的五位数有2(A+A)=16个.

10.从数字0、1、3、5、7中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方程ax²+bx+c=0?其中有实数根的有几个？

分析：(1)二次方程要求a不为0，故a只能在1、3、5、7中选，b、c没有限制.

(2)二次方程要有实根，需Δ=b²－4ac≥0，再对c分类讨论.

解：(1)a只能在1、3、5、7中选一个有A种，b、c可在余下的4个中任取2个，有A种.故可组成二次方程A·A=48个.

(2)方程要有实根，需Δ=b²－4ac≥0.

c=0，a、b可在1、3、5、7中任取2个，有A种；

c≠0，b只能取5、7，b取5时，a、c只能取1、3，共有A个；b取7时，a、c可取1、3或1、5，有2A个.故有实根的二次方程共有A+A+2A=18个.

9.关于正整数2160，求：

(1)它有多少个不同的正因数？

(2)它的所有正因数的和是多少？

解：(1)∵N=2160=2⁴×3³×5，

∴2160的正因数为P=2^α×3^β×5^γ，

其中α=0，1，2，3，4，β=0，1，2，3，γ=0，1.

∴2160的正因数共有5×4×2=40个.

(2)式子(2⁰+2¹+2²+2³+2⁴)×(3⁰+3¹+3²+3³)×(5⁰+5¹)的展开式就是40个正因数.

∴正因数之和为31×40×6=7440.

8.一只青蛙从正六边形ABCDEF的顶点A处起跳，每次可以跳到与它相邻的两个顶点之一，若5步内(含5步)跳到顶点D则停止，5步跳不到D点也停止，问共有多少种不同的跳法？

解法1：3步跳到D点的有2种方法。

5步跳到或跳不到D点的共有　 2⁵-2×2²=24种方法，(其中2×2²是3步跳到D后还继续跳的)。所以，共有不同跳法　 2+24=26 (种)

解法2：画树图

共有(1+2²+2³)×2=26(种)。

7.(2003年全国)如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色.现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_____________种.(以数字作答)

练习简答：1-3.BCC; 4..448;　 5. 2400;. 6分首位是2、3、4分别计算：(1+C·A +C·A)+ A+C·A=58; 7.依次染①、②、③、④、⑤.故有4×3×2×(1+2)=72种.

[解答题]

6.(2004四川模拟)在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有__________.

5.(2006全国Ⅰ)安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有__________种　 (用数字作答)

4.在所有无重复数字的四位数中，千位上的数字比个位上的数字大2的数共有____个.