6．如图，已知矩形和矩形垂直，以为公共边，但它们不在同一平面上．点M、N分别在对角线BD、AE上，且｜BM｜＝｜BD｜，｜AN｜＝｜AE｜．证明：MN∥平面CDE．

解：如图，＝++．

由已知，＝，又因为＝+，

所以　 ＝+．

由已知，＝，又因为＝+，

所以　 ＝+．所以　 ＝++++，

又　 ＝－，＝－，所以　 ＝－，即有MN∥平面CDE．

5．已知空间三点A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5)：

(1)求以向量、为一组邻边的平行四边形的面积S；

(2)若向量分别与向量、垂直，且||=，求向量a的坐标。

(1)=(-2，-1，3)，=(1，-3，2)，

则cos∠BAC==，∴∠BAC=，∴ S=||·||·sin=7

(2)设 =(x，y，z)，则⊥ 　-2x－y+3z= 0　　　　　　　　 ①

⊥ 　x－3y+2z= 0　　 ②　　 ||= 　x²+y²+z²=3　　　　　 ③

由式①、②、③解得，x=y=z=1 或 x=y=z=-1．

∴ =(1，1，1)或=(-1，-1，-1)

4．已知=(2，2，1)，=(4，5，3)，求平面ABC的单位法向量．

解：单位法向量n ₀=±=±(，－，)．

3．已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁．AB=1，AA₁=2，点E为CC₁中点，点P为BD₁中点． 证明EF为BD₁与CC₁的公垂线；

证：建立如图的坐标系，得B(0，1，0)，D₁(1，0，2)，F(，，1)，C₁(0，0，2)，E(0，0，1)．

即EF⊥CC₁，EF⊥BD₁ ．

故EF是为BD₁ 与CC₁的公垂线．

2．设=(cosα，1，sinα)，=(sinα，1，cosα)，求证：(+)⊥(－)。

1．下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别是其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形的序号是_____________．①④⑤．

7．已知向量=(3，0，1)，=(-1，1，2)，⊥，∥，若=－，求向量的坐标。(-，1，)

考查空间向量的概念及运算．要求空间向量的加法、减法和数乘、空间向量的坐标运算、空间向量的数量积的概念、性质．

6．若e₁，e₂，e₃是三个不共面向量，试问向量a=3e₁+2e₂+e₃，b=－e₁+ e ₂+3 e ₃，c=2e ₁－e ₂－4 e ₃是否共面，并说明理由。

解：由共面向量定理可知，关键是能否找到三个不全为零的实数x，y，z，

使得xa+yb+zc=0，即x(3 e₁+2e₂+e₃)+y(－e₁+ e ₂+3 e ₃)+z(2 e ₁－e ₂－4 e ₃)=0，

即(3x－y+2z)e₁+(2x+y－z)e₂+(x+3y－4z)e₃=0。由于e₁，e₂，e₃不共面，

故得3x－y+2z=0，①　　 2x+y－z=0，②　　　 x+3y－4z=0。③

①+②求得z=－5x，代入③得y=－7x，取x=1，则y=－7，z=－5，于是a－7b－5c=0，

即a=7b+5c，所以a，b，c三向量共面。

5．已知、是空间两个单位向量，它们的夹角为60°，设向量=2+，=－3+2，则向量与的夹角是_______．120°

4．命题：

①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；

②向量a、b、c共面，则它们所在的直线也共面；

③若a与b共线，则存在唯一的实数λ，使b=λa；

④若A、B、C三点不共线，O是平面ABC外一点，= + + ，

则点M一定在平面ABC上，且在△ABC内部．

上述命题中的真命题是_____________．④

解：①中b为零向量时，a与c可以不共线，故①是假命题；②中a所在的直线其实不确定，故②是假命题；③中当a=0，而b≠0时，则找不到实数λ，使b=λa，故③是假命题；④中M是△ABC的重心，故M在平面ABC上且在△ABC内，故④是真命题．