2. 解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用.

话题3：函数与数列的综合题

数列是一特殊的函数，其定义域为正整数集，且是自变量从小到大变化时函数值的序列。注意深刻理解函数性质对数列的影响，分析题目特征，探寻解题切入点.

例6. (2006湖北卷)已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点(n，)(n)均在函数的图像上。(Ⅰ)、求数列的通项公式；(Ⅱ)、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；

点评：本题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。

解：(Ⅰ)设二次函数为f(x)＝ax²+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得

a=3 ,　 b=－2, 所以　 f(x)＝3x²－2x.

又因为点均在函数的图像上，所以＝3n²－2n.

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝(3n²－2n)－＝6n－5.

当n＝1时，a₁＝S₁＝3×1²－2＝6×1－5，所以，a_n＝6n－5 ()

(Ⅱ)由(Ⅰ)得知＝＝，

故T_n＝＝＝(1－).

因此，要使(1－)<()成立的m必须且仅需满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.

例7. 设，定义，其中n∈N*.

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)若求前2n项的和。

解：(1)＝2，，，

∴

∴，∴数列{a_n}是首项为，公比为的等比数列，

(2)

两式相减得：

例8. (湖北卷)设数列的前n项和为，点均在函数y＝3x－2的图像上。

(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m。

本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。

解：(I)依题意得，即。

当n≥2时，a;

当n=1时，×-2×1-1-6×1-5

所以()。

(II)由(I)得，

故。

因此，使得﹤成立的m必须满足≤，即m≥10,故满足要求的最小整数m为10。

话题4：数列与解析几何

数列与解析几何综合题，是今后高考命题的重点内容之一，求解时要充分利用数列、解析几何的概念、性质，并结合图形求解.

例9. 在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图像上，且的横坐标构成以为首项，­为公差的等差数列.

⑴求点的坐标；⑵设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：.

解：(1)

(2)的对称轴垂直于轴，且顶点为.设的方程为：

把代入上式，得，的方程为：。

，

=

点评：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大。(1)、(2)两问运用几何知识算出.

例10. 已知抛物线，过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点，又过点作斜率为的直线交抛物线于点，再过作斜率为的直线交抛物线于点，，如此继续，一般地，过点作斜率为的直线交抛物线于点，设点.

令，求证：数列是等比数列. 并求数列的前项和

解：因为、在抛物线上，故①②，又因为直线的斜率为，即，①②代入可得，　 故是以

为公比的等比数列；，

话题5：数列创新题

例11.(安徽卷)数列的前项和为，已知

，，，2，…

(Ⅰ)写出与的递推关系式()，并求关于的表达式；

(Ⅱ)设，()，求数列的前项和。

解：由()得：，即，所以，对成立。

由，，…，相加得：，又，所以，当时也成立。

(Ⅱ)由，得。

而，

，

例12. (福建卷)已知数列{a_n}满足a₁=a, a_n+1=1+我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：

(Ⅰ)求当a为何值时a₄=0；(Ⅱ)设数列{b_n­}满足b₁=－1, b_n+1=，求证：a取数列{b_n}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a_n}；

　 　(I)解法一：

故a取数列{b_n}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a_n}

例13. (全国卷III) 在等差数列中，公差的等比中项.

已知数列成等比数列，求数列的通项

解：由题意得：　　　　　　 即

又

又成等比数列,

∴该数列的公比为，

所以

又所以数列的通项为

话题6：永远的递推

例14. 在数列中，

(1)，，则通项公式= ＿＿＿＿＿

(2)，，则通项公式= ＿＿＿＿＿

(3)，，则通项公式= ＿＿＿＿＿

(4)，当时，，则通项公式= ＿＿＿＿＿

(5)已知，，则通项公式　　　　　　

(6)设，且. 则通项公式　　　　　　

(7)设，且. 则通项公式　　　　　　

解：(1)迭加得：

(2)迭乘得：

(3)迭代得：

(4)取倒数得等差数列：

(5)配方得等比数列：

(6)配方得等比数列：

(7)同除以2ⁿ得等差数列：

[模拟试题]

4. 解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略.

[典型例题]

话题1：等差、等比数列的项与和的特征问题

例1. (四川卷)数列的前项和记为(Ⅰ)求的通项公式；(Ⅱ)等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求

解：(Ⅰ)由可得，两式相减得

又 ∴　 故是首项为，公比为的等比数列　 ∴

(Ⅱ)设的公比为，由得，可得，可得

故可设　　 又

由题意可得　　　　 解得

∵等差数列的各项为正，∴　 ∴　 ∴

例2. (上海卷)设数列的前项和为，且对任意正整数，。(1)求数列的通项公式？(2)设数列的前项和为,对数列，从第几项起？

解：(1) ∵a_n+ S_n=4096, ∴a₁+ S₁=4096, a₁ =2048.

当n≥2时, a_n= S_n－S_n－1=(4096－a_n)－(4096－a_n－1)= a_n－1－a_n

∴=，a_n=2048()^n－1.

　　 (2) ∵log₂a_n=log₂[2048()^n－1]=12－n,　　 ∴T_n=(－n²+23n).

　　 由T_n<－509,解得n>,而n是正整数,于是,n≥46.　　 ∴从第46项起T_n<－509.

例3. (全国卷Ⅰ) 设正项等比数列的首项，前n项和为，且。(Ⅰ)求的通项公式；(Ⅱ)求的前n项和。

解：(Ⅰ)由 　得

即

可得

因为，所以 　解得，因而

(Ⅱ)因为是首项、公比的等比数列，故

则数列的前n项和

前两式相减，得　

　 即　

话题2：等差、等比数列的判定问题.

例4. (上海卷)已知有穷数列共有2项(整数≥2)，首项＝2. 设该数列的前项和为，且＝+2(＝1，2，…，2－1)，其中常数＞1.

(1)求证：数列是等比数列；(2)若＝2，数列满足＝(＝1，2，…，2)，求数列的通项公式；

(3)若(2)中的数列满足不等式|－|+|－|+…+|－|+|－|≤4，求的值.

(1) 证明：当n=1时,a₂=2a,则=a；

2≤n≤2k－1时, a_n+1=(a－1) S_n+2, a_n=(a－1) S_n－1+2,

a_n+1－a_n=(a－1) a_n,　 ∴=a, ∴数列{a_n}是等比数列.

(2) 解：由(1) 得a_n=2a, ∴a₁a₂…a_n=2a=2a=2,

b_n=(n=1,2,…,2k).

(3)设b_n≤,解得n≤k+,又n是正整数,于是当n≤k时, b_n<；

当n≥k+1时, b_n>.

原式=(－b₁)+(－b₂)+…+(－b_k)+(b_k+1－)+…+(b_2k－)

=(b_k+1+…+b_2k)－(b₁+…+b_k)

==.

当≤4,得k²－8k+4≤0,　　 4－2≤k≤4+2,又k≥2,

∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.

例5. 已知数列中，是其前项和，并且，⑴设数列，求证：数列是等比数列；⑵设数列，求证：数列是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和。

分析：由于{b}和{c}中的项都和{a}中的项有关，{a}中又有S=4a+2，可由S-S作切入点探索解题的途径.

[注2]本题立意与2007年高考题文科20题结构相似.

解：(1)由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a. (根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)

a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b　　 ①

已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3　 ②

由①和②得，数列{b}是首项为3，公比为2的等比数列，故b=3·2.

当n≥2时，S=4a+2=2(3n-4)+2；当n=1时，S=a=1也适合上式.

综上可知，所求的前n项和为S=2(3n-4)+2.

说明：1. 本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列的通项公式与前项和。解决本题的关键在于由条件得出递推公式。

3. 注意与之间关系的转化。如：=　 ，

=.

2. 在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。

1. 证明数列是等差或等比数列常用定义法，即通过证明 或而得。

3. 数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。

2. 在等差数列中,有关的最值问题--常用邻项变号法求解：　

(1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大值.

(2)当<0,d>0时，满足的项数m使得取最小值。

在解含绝对值的数列的最值问题时,注意转化思想的应用。

1. 判断和证明数列是等差(等比)数列常用的三种方法：

(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。

(2)通项公式法：

①若(n-1)d=+(n-k)d ，则为等差数列；

②若 ，则为等比数列。

(3)中项公式法：验证中项公式成立。

3. 培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景、新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法.