例1．某厂2001年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润m与全年总投入N的大小关系是　　　　　　　 (　 )

A. m>N　　　 　B. m<N　　 　　C.m=N　　 　　D.无法确定

[分析]每月的利润组成一个等差数列{a_n}，且公差d＞0，每月的投资额组成一个等比数列{b_n}，且公比q＞1。，且，比较与的大小。

若直接求和，很难比较出其大小，但注意到等差数列的通项公式a_n=a₁+(n-1)d是关于n的一次函数，其图象是一条直线上的一些点列。等比数列的通项公式b_n=a₁q^n-1是关于n的指数函数，其图象是指数函数上的一些点列。

在同一坐标系中画出图象，直观地可以看出a_i≥b_i 　则＞，即m＞N。

[点评]把一个原本是求和的问题，退化到各项的逐一比较大小，而一次函数、指数函数的图象又是每个学生所熟悉的。在对问题的化归过程中进一步挖掘了问题的内涵，通过对问题的反思、再加工后，使问题直观、形象，使解答更清新。

例2．如果，三棱锥P-ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=l，PA，BC的公垂线ED=h．求证三棱锥P-ABC的体积．

分析：如视P为顶点，△ABC为底面，则无论是S_△ABC以及高h都不好求．如果观察图形，换个角度看问题，创造条件去应用三棱锥体积公式，则可走出困境．

解：如图，连结EB，EC，由PA⊥BC，PA⊥ED，ED∩BC=E，可得PA⊥面ECD．这样，截面ECD将原三棱锥切割成两个分别以ECD为底面，以PE、AE为高的小三棱锥，而它们的底面积相等，高相加等于PE+AE=PA=l，所以

V_P－ABC=V_P－ECD+V_A－ECD=S_△ECD•AE+S_△ECD•PE=S_△ECD •PA=•BC·ED·PA=． 　 评注：辅助截面ECD的添设使问题转化为已知问题迎刃而解．

例3．在的展开式中x的系数为( )．

(A)160　　 　　　　(B)240　　　　　　　 (C)360　　　　　 (D)800

分析与解：本题要求展开式中x的系数，而我们只学习过多项式乘法法则及二项展开式定理，因此，就要把对x系数的计算用上述两种思路进行转化：

思路1：直接运用多项式乘法法则和两个基本原理求解，则展开式是一个关于x的10次多项式， =(x²+3x+2) (x²+3x+2) (x²+3x+2) (x²+3x+2) (x²+3x+2)，它的展开式中的一次项只能从5个括号中的一个中选取一次项3x并在其余四个括号中均选 择常数项2相乘得到，故为·(3x)··2⁴=5×3×16x=240x，所以应选(B)．

思路2 利用二项式定理把三项式乘幂转化为二项式定理再进行计算，∵x²+3x+2=x²+ (3x+2)=(x²+2)+3x=(x²+3x)+2=(x+1)(x+2)=(1+x)(2+x)，∴这条思路下又有四种不同的化归与转化方法．①如利用x²+3x+2=x²+(3x+2)转化，可以发现只有(3x+2)⁵中会有x项，即(3x)·2⁴=240x，故选(B)；②如利用x²+3x+2= (x²+2)+3x进行转化，则只 (x²+2) ⁴·3x中含有x一次项，即·3x·C₄⁴·2⁴=240x；③如利用x2+3x+2=(x2+3x)+2进行转化，就只有·(x²+3x)·2⁴中会有x项，即240x；④如选择x²+3x+2=(1+x)(2+x)进行转化，=×展开式中的一次项x只能由(1+x)⁵中的一次项乘以(2+x)⁵展开式中的常数项加上(2+x)⁵展开式中的一次项乘以(1+x)⁵展开式中的常数项后得到，即为x·2⁵+•2⁴•x••1⁵=160x+80x=240x，故选(B)．　

评注：化归与转化的意识帮我们把未知转化为已知。

例4．若不等式对一切均成立，试求实数的取值范围。

解：　　　

令，则要使它对均有，只要有

　　　　 或。

点评：在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的。但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解。本题中，若视x为主元来处理，既繁且易出错，实行主元的转化，使问题变成关于p的一次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行。

4．化归与转化应遵循的基本原则：

(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。

(2)简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。

(3)和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。

(4)直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。

(5)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。

3．转化有等价转化和非等价转化。等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。

2．化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。

1．解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题(相对来说，对自己较熟悉的问题)，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。

1、 someone，anyone，everyone都只能指人，且不和介词of连用；some one，any one，every one则既可指人又可指物，可与介词of连用。例如：

Anyone should be polite to every one of them.任何人都要礼貌对待他们中的每一个人。

---Which toy would you like? ---Any one is OK. ---你要那个玩具？---随便。

2、no one(=nobody)“没有人”，只用来指人，通常不和介词of连用；none“没有一个”，既可以用来指人也可用来指物。例如：

No one can do it better. 没有人能做得更好。

None of these questions is easy, and none of us can even answer any one of them.这些问题没有一个是容易的，我们中没有一个人能答出其中的一题。

回答who引导的特殊疑问句时用no one；回答how many引导的特殊疑问句时用none。例如：

---Who was late ? ---No one. ---谁迟到了？---谁也没有迟到。

---How many pigs do you keep? ---None. ---你养几头猪？---一头也没养。

复合不定代词可以充当名词用，表示“……的事情(东西或人)”。

1、someone/somebody, anyone/anybody的意义是“重要人物，大人物”，everyone/everybody意为“最重要的人”，no one/nobody则意指“无关紧要的人，小人物”。例如：

2、something，anything的意义是“重要事情(东西)”，everything表示“最重要的事情(东西)”，nothing则指“毫无趣味的事情，无关紧要的东西”。

1、“not every-”表示的是部分否定，意为“并非都，不都”。例如：

Not everything will go well. 并非一切都会那么顺利。

The teacher didn’t call everyone’s name. 老师并没有点所有人的名。

2、“not any-”和no-均表示全否定。例如：

He listened, but heard nothing.他听了听，但什么也没听到。

= He listened, but didn’t hear anything.

You haven’t called anyone/anybody up, have you? 你没给谁打过电话，是吗？

= You have called no one/nobody up, have you?

由some-和any-所构成的复合不定代词(即something和anything；someone和anyone；somebody和anybody)之间的区别跟some和any的区别一样。

1、something，someone，somebody通常用于肯定句中，而anything，anyone，anybody一般用于否定句，疑问句或条件状语从句中。如：

He found something strange but interesting.他发现了一些奇怪但却有趣的事情。

Do　you　have　anything　to　say　？你有话要说吗？

I can’t meet　anybody　on　the　island. 在岛上，我没遇见任何人。

2、在表示请求、邀请、提建议等带有委婉语气的疑问句，和希望得到对方肯定答复的疑问句，以及表示反问的问句中，也用something，someone，somebody等复合不定代词。如:

Would　you　like　something　to　eat？要些吃的东西吗？

Isn’t there something wrong with you? 难道你没问题吗？

3、当anything表示“任何事(物)，无论何事(物)”，anyone，anybody表示“无论谁，任何人”等意义时，它们也可以用于肯定句中。如：

Anything is OK. 什么都行。

Anybody knows the answer.任何人都知道答案。

复合不定代词的定语必须后置，即放在复合不定代词的后面。如：

Can you tell something interesting? 你能讲些有趣的事情吗？

Is there anybody important here? 这儿有大人物吗？

Would you like something to eat? 要来些吃的东西吗？