1．匀速圆周运动的特点

匀速圆周运动是变速运动(v方向时刻在变)，而且是变加速运动(a方向时刻在变)。

3．圆锥摆

圆锥摆是运动轨迹在水平面内的一种典型的匀速圆周运动。其特点是由物体所受的重力与弹力的合力充当向心力，向心力的方向水平。也可以说是其中弹力的水平分力提供向心力(弹力的竖直分力和重力互为平衡力)。

[例7]小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的θ(小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角)与线速度v、周期T的关系。(小球的半径远小于R。)

解：小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上(不在半球的球心)，向心力F是重力G和支持力N的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平。如图所示有：

，由此可得：

(h为小球轨道平面到球心的高度)可见，θ越大(即轨迹所在平面越高)，v越大，T越小。

本题的分析方法和结论同样适用于圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。

2．一般地说，当做圆周运动物体所受的合力不指向圆心时，可以将它沿半径方向和切线方向正交分解，其沿半径方向的分力为向心力，只改变速度的方向，不改变速度的大小；其沿切线方向的分力为切向力，只改变速度的大小，不改变速度的方向。分别与它们相应的向心加速度描述速度方向变化的快慢，切向加速度描述速度大小变化的快慢。

做圆周运动物体所受的向心力和向心加速度的关系同样遵从牛顿第二定律：F_n=ma_n在列方程时，根据物体的受力分析，在方程左边写出外界给物体提供的合外力，右边写出物体需要的向心力(可选用等各种形式)。

如果沿半径方向的合外力大于做圆周运动所需的向心力，物体将做向心运动，半径将减小；如果沿半径方向的合外力小于做圆周运动所需的向心力，物体将做离心运动，半径将增大。

1．做匀速圆周运动物体所受的合力为向心力

“向心力”是一种效果力。任何一个力，或者几个力的合力，或者某一个力的某个分力，只要其效果是使物体做匀速圆周运动的，都可以作为向心力。

4．曲线运动的一般研究方法

研究曲线运动的一般方法就是正交分解。将复杂的曲线运动分解为两个互相垂直方向上的直线运动。一般以初速度或合外力的方向为坐标轴进行分解。

[例6]如上图所示，在竖直平面的xoy坐标系内，oy表示竖直向上方向。该平面内存在沿x轴正向的匀强电场。一个带电小球从坐标原点沿oy方向竖直向上抛出，初动能为4J，不计空气阻力。它达到的最高点位置如图中M点所示。求：

(1)小球在M点时的动能E₁。

(2)在图上标出小球落回x轴时的位置N。

(3)小球到达N点时的动能E₂。

解：(1)在竖直方向小球只受重力，从O→M速度由v₀减小到0；在水平方向小球只受电场力，速度由0增大到v₁，由图知这两个分运动平均速度大小之比为2∶3，因此v₀∶v₁=2∶3，所以小球在M点时的动能E₁=9J。

(2)由竖直分运动知，O→M和M→N经历的时间相同，因此水平位移大小之比为1∶3，故N点的横坐标为12。

(3)小球到达N点时的竖直分速度为v₀，水平分速度为2v₁，由此可得此时动能E₂=40J。

3．临界问题

典型例是在排球运动中，为了使从某一位置和某一高度水平扣出的球既不触网、又不出界，扣球速度的取值范围应是多少？

[例5]已知网高H，半场长L，扣球点高h，扣球点离网水平距离s、求：水平扣球速度v的取值范围。

解：假设运动员用速度v_max扣球时，球刚好不会出界，用速度v_min扣球时，球刚好不触网，从图中数量关系可得：

，。

实际扣球速度应在这两个值之间。

2．方格问题

平抛小球的闪光照片如图。

[例4]已知方格边长a和闪光照相的频闪间隔T，求：v₀、g、v_c

解：水平方向：竖直方向：，∴

先求C点的水平分速度v_x和竖直分速度v_y，再求合速度v_C：

，，∴

[变型]条件同上，若A的坐标为(0，0)，求出抛物点O的坐标。

思路：求出抛物点O到A点的时间即可。由v_C知：v_Cy=gt_C，而，解得。

故，则抛出点O的坐标为(-v₀t_A，-)。

当物体初速度水平且仅受重力作用时的运动，被称为平抛运动。其轨迹为抛物线，性质为匀变速运动。平抛运动可分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动这两个分运动。广义地说，当物体所受的合外力恒定且与初速度垂直时，做类平抛运动。

获得平抛初速度：水平力对物体做功(给物体施加水平冲量)；物体从水平运动的载体上脱离。

平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。

1．一个有用的推论：平抛物体任意时刻瞬时时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。

证明：设一段时间内物体的水平位移为s，竖直位移为h，则有：，，由上述公式有。

[例3]从倾角为θ=30°的斜面顶端以初动能E=6J向下坡方向平抛出一个小球，则小球落到斜面上时的动能E^/为______J。

解：以抛出点和落地点连线为对角线画出矩形ABCD，可以证明末速度v_t的反向延长线必然交AB于其中点O，由图中可知BC∶BO=2∶，由相似形可知v_t∶v₀=∶，因此很容易可以得出结论：E′=14J。

本题也能用解析法求解。列出竖直分运动和水平分运动的方程，注意到倾角和下落高度和射程的关系，有：

同样可求得v_t∶v₀=∶，E′=14J

3．连带运动问题

指物拉绳(杆)或绳(杆)拉物问题。由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相同求解。

[例1]如图所示，汽车甲以速度v₁拉汽车乙前进，乙的速度为v₂，甲、乙都在水平面上运动，求v₁∶v₂

解：甲、乙沿绳的速度分别为v₁和v₂cosα，两者应该相等，所以有v₁∶v₂=cosα∶1

[例2]两根光滑的杆互相垂直地固定在一起。上面分别穿有一个小球。小球a、b间用一细直棒相连如图。当细直棒与竖直杆夹角为α时，求两小球实际速度之比v_a∶v_b

解：a、b沿细直棒的分速度分别为v_acosα和v_bsinα，∴v_a∶v_b=tanα∶1

2．过河问题

如右图所示，若用v₁表示水速，v₂表示船速，则：

①过河时间仅由v₂的垂直于岸的分量v_⊥决定，即，与v₁无关，所以当v₂⊥岸时，过河所用时间最短，最短时间为也与v₁无关。

②过河路程由实际运动轨迹的方向决定，当v₁＜v₂时，最短路程为d；当v₁＞v₂时，最短路程为(如右图所示)。