8.已知下列四个命题:①若f(x)为减函数,则-f(x)为增函数;②若f(x)为增函数,则函数g(x)=在其定义域内为减函数;③若f(x)与g(x)均为(a,b)上的增函数,则f(x)·g(x)也是区间(a,b)上的增函数;④若f(x)与g(x)在(a,b)上分别是递增与递减函数,且g(x)≠0,则在(a,b)上是递增函数.其中命题正确的是 (填序号)
答案 ①
7.已知y=f(x)是定义在(-2,2)上的增函数,若f(m-1)<f(1-2m),则m的取值范围是 .
答案 (-
6.若函数f(x)=(m-1)x2+mx+3 (x∈R)是偶函数,则f(x)的单调减区间是 .
答案 [0,+∞)
5.已知f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是 .
答案 [,)
4.函数f(x)(x∈R)的图象如下图所示,则函数g(x)=f(logax) (0<a<1)的单调减区间是 .
答案 [,1]
3.函数y=lg(x2+2x+m)的值域是R,则m的取值范围是 .
答案 m≤1
2.已知函数f(x)在区间[a,b]上单调,且f(a)·f(b)<0,则下列对方程f(x)=0在区间[a,b]上根的分布情况的判断有误的是 (填序号).
①至少有一实根 ②至多有一实根
③没有实根 ④必有惟一的实根
答案 ①③
1.函数f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是 .
答案 [,4)
14.设a,b,c∈R+且a+b+c=1,试求:++的最小值.
解 ∵a+b+c=1,a、b、c为正数,
∴(2a+1+2b+1+2c+1)
≥(1+1+1)2,
∴++≥.
当且仅当2a+1=2b+1=2c+1,即a=b=c时“=”成立,
∴当a=b=c=时,
++取最小值.
13.(2008·南京第二次调研)已知f(x)=,a≠b,
求证:|f(a)-f(b)|<|a-b|.
证明 方法一 ∵f(a)=,f(b)= ,
∴原不等式化为|-|<|a-b|.
∵|-|≥0,|a-b|≥0,
∴要证|-|<|a-b|成立,
只需证(-)2<(a-b)2.
即证1+a2+1+b2-2<a2-2ab+b2,
即证2+a2+b2-2<a2-2ab+b2.
只需证2+2ab<2,
即证1+ab<.
当1+ab<0时,∵>0,
∴不等式1+ab<成立.
从而原不等式成立.
当1+ab≥0时,要证1+ab<,
只需证(1+ab)2<()2,
即证1+2ab+a2b2<1+a2+b2+a2b2,即证2ab<a2+b2.
∵a≠b,∴不等式2ab<a2+b2成立.∴原不等式成立.
方法二 ∵|f(a)-f(b)|=|-|
==,
又∵|a+b|≤|a|+|b|=+<+,
∴<1.
∵a≠b,∴|a-b|>0.∴|f(a)-f(b)|<|a-b|.
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