10．已知y＝f(x)在定义域(0，+∞)内存在反函数，且f(x－1)＝x²－2x+1，则f^－1(7)＝__________.

答案：

解析：设x－1＝t，则x＝1+t，所以f(t)＝(t+1)²－2(t+1)+1＝t²，即f(x)＝x²(x>0)，设f^－1(7)＝a，则f(a)＝a²＝7，故a＝.

9．(2009·成都模拟)设函数f(x)＝e^2(x－1)，y＝f^－1(x)为y＝f(x)的反函数，若函数g(x)＝则g[g(－1)]＝__________.

答案：1

解析：依题意得g(－1)＝－1+2＝1，g[g(－1)]＝g(1)＝f^－1(1)．设f^－1(1)＝t，则有f(t)＝1，即e^2(t－1)＝1，t＝1，所以g[g(－1)]＝1.

8．(2009·湖北八校联考)已知函数f(x)＝(e^x+e^x－2)(x<1)(其中e是自然对数的底数)的反函数为f^－1(x)，则有(　)

A．f^－1()<f^－1()　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．f^－1()>f^－1()

C．f^－1()<f^－1(2)　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．f^－1()>f^－1(2)

答案：A

解析：∵函数f(x)＝(e^x+e^x－2)＝e^x是一个单调递增函数，∴f^－1(x)在(0，+∞)上也是单调递增函数．

又∵x<1，∴f(x)＝e^x<e＝.

－2＝＝，∵2<e<3，∴0<e－2<1，∴(e－2)²－3<0，∴<2；

－＝＝，

∵2.7<e<2.8，∴1.2<e－<1.3，

∴(e－)²－>0，∴>，∴<<2.

∴在x<1时，函数f(x)＝(e^x+e^x－2)的值域为(0，)，其中<<2，故选A.

7．已知函数f(x)＝的反函数为f^－1(x)，若函数y＝g(x)的图象与函数y＝f^－1(x+1)的图象关于直线y＝x对称，且g(3)＝，则实数a的值为(　)

A．2　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．1

C．－1　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

答案：A

解析：由题意得f^－1(x)＝，

∴f^－1(x+1)＝，又∵g(3)＝，∴y＝中的x＝，y＝3，代入解得a＝2，故选A.

6．设函数f(x)＝的反函数为f^－1(x)，且f^－1＝a，则f(a+7)等于(　)

A．－2　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．－1

C．1　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．2

答案：A

解析：当x>4时，f(x)＝－log₃(x+1)<－log₃5<0；当x≤4时，0<f(x)＝2^x－4≤1.又f^－1＝a，因此f(a)＝>0,2^a－4＝＝2^－3，a＝1，f(a+7)＝f(8)＝－log₃9＝－2.故选A.

5．已知函数f(x)＝的反函数f^－1(x)的图象的对称中心是，则函数h(x)＝log_a(x²－2x)的单调递增区间是(　)

A．(1，+∞)　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．(－∞，1)

C．(－∞，0)　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．(2，+∞)

答案：C

解析：由已知得f(x)＝－1－知，其对称中心是点(a+1，－1)，因此，其反函数f^－1(x)的对称中心是点(－1，a+1)，结合题意得a+1＝，a＝.因此函数h(x)的单调递增区间由确定，由此解得x<0，即函数h(x)的单调递增区间是(－∞，0)．故选C.

4．(2009·郑州一测)定义在R上的函数f(x)的反函数为f^－1(x)，且对于任意x∈R，都有f(－x)+f(x)＝3，则f^－1(x－1)+f^－1(4－x)＝(　)

A．0　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．－2

C．2　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．2x－4

答案：A

解析：由f(－x)+f(x)＝3可知函数y＝f(x)的图象关于点(0，)对称，因此其反函数y＝f^－1(x)的图象必关于点(，0)对称，即有f^－1(x)+f^－1(3－x)＝0，故f^－1(x－1)+f^－1[3－(x－1)]＝0，即f^－1(x－1)+f^－1(4－x)＝0，选A.

3．函数y＝的反函数是(　)

A．y＝　 　　　　　　　　　　　　　　　　 B．y＝

C．y＝　 　　　　　　　　　　　　　　 D．y＝

答案：C

解析：本题考查求分段函数的反函数．

y＝，当x≥0，x＝，∴y＝.

当x<0，x＝－，∴y＝－.

∴y＝　故选C.

2．(2008·北京)“函数f(x)(x∈R)存在反函数”是“函数f(x)在R上为增函数”的(　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：B

解析：若函数f(x)在R上为增函数，则x与y一一对应，故存在反函数，∴必要性成立；若函数f(x)存在反函数，则x与y一一对应，函数f(x)在R上也可能是减函数，

∴充分性不成立，故选B.

1．(2008·全国Ⅰ)若函数y＝f(x－1)的图象与函数y＝ln+1的图象关于直线y＝x对称，则f(x)＝(　)

A．e^2x－1　　　　　　　　　　　　　　　　 B．e^2x

C．e^2x+1　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．e^2x+2

答案：B

解析：∵函数y＝ln+1的反函数为y＝e^2(x－1)，即f(x－1)＝e^2(x－1)，∴f(x)＝e^2x，故选B.