112．证明直线与直线的垂直的思考途径

(1)转化为相交垂直；

(2)转化为线面垂直；

(3)转化为线与另一线的射影垂直；

(4)转化为线与形成射影的斜线垂直.

111．证明平面与平面平行的思考途径

(1)转化为判定二平面无公共点；

(2)转化为线面平行；

(3)转化为线面垂直.

110．证明直线与平面的平行的思考途径

(1)转化为直线与平面无公共点；

(2)转化为线线平行；

(3)转化为面面平行.

109．证明直线与直线的平行的思考途径

(1)转化为判定共面二直线无交点；

(2)转化为二直线同与第三条直线平行；

(3)转化为线面平行；

(4)转化为线面垂直；

(5)转化为面面平行.

91.圆的切线方程

(1)已知圆．

①若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是

　.

当圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程．

②过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．

③斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线．

(2)已知圆．

①过圆上的点的切线方程为;

②斜率为的圆的切线方程为.

椭圆

l　　　　　 椭圆的参数方程是.

l　　　　　 椭圆焦半径公式 　

，,

l　　　　　 焦点三角形：P为椭圆上一点，则三角形的面积S=特别地，若此三角形面积为；

l　　　　　 在椭圆上存在点P，使的条件是c≥b,即椭圆的离心率e的范围是；

l　　　　　 椭圆的的内外部

(1)点在椭圆的内部.

(2)点在椭圆的外部.

l　　　　　 椭圆的切线方程

(1)椭圆上一点处的切线方程是.

　 (2)过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是.

　 (3)椭圆与直线相切的条件是.双曲线

l　　　　　 双曲线的焦半径公式

，.

l　　　　　 双曲线的内外部

(1)点在双曲线的内部.

(2)点在双曲线的外部.

l　　　　　 双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1)若双曲线方程为渐近线方程：.

　　 (2)若渐近线方程为双曲线可设为.

　 　(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为(，焦点在x轴上，，焦点在y轴上).

l　　　　　 　双曲线的切线方程

　(1)双曲线上一点处的切线方程是.

　　 (2)过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是

.

　 (3)双曲线与直线相切的条件是.

l　　　　　 焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长度(即b值)

抛物线

l　　　　　 焦点与半径

l　　　　　 焦半径公式

抛物线，C 为抛物线上一点，焦半径.

过焦点弦长.对焦点在y轴上的抛物线有类似结论。

l　　　　　 设点方法

抛物线上的动点可设为P或 P，其中 .

l　　　　　 二次函数

的图象是抛物线：

(1)顶点坐标为；

(2)焦点的坐标为；

(3)准线方程是.

l　　　　　 抛物线的内外部

(1)点在抛物线的内部.

点在抛物线的外部.

(2)点在抛物线的内部.

点在抛物线的外部.

(3)点在抛物线的内部.

点在抛物线的外部.

(4) 点在抛物线的内部.

点在抛物线的外部.

l　　　　　 抛物线的切线方程

(1)抛物线上一点处的切线方程是.

　 (2)过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是.

　 (3)抛物线与直线相切的条件是.

l　　　　　 过抛物线(p>0)的焦点F的直线与抛物线相交于

圆锥曲线共性问题

l　　　　　 两个常见的曲线系方程

(1)过曲线,的交点的曲线系方程是

(为参数).

(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程,其中.当时,表示椭圆; 当时,表示双曲线.

l　　　　　 直线与圆锥曲线相交的弦长公式

　或

(弦端点A

由方程 消去y得到，,为直线的倾斜角，为直线的斜率).

l　　　　　 涉及到曲线上的 点A，B及线段AB的中点M的关系时，可以利用“点差法：，比如在椭圆中：

l　　　　　 圆锥曲线的两类对称问题

(1)曲线关于点成中心对称的曲线是.

(2)曲线关于直线成轴对称的曲线是

.

l　　　　　 “四线”一方程　

对于一般的二次曲线，用代，用代，用代，用代，用代即得方程

，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.立体几何

85. 或所表示的平面区域

设曲线()，则

或所表示的平面区域是：

所表示的平面区域上下两部分；

所表示的平面区域上下两部分.圆

l　　　　　 圆的四种方程

(1)圆的标准方程 .

(2)圆的一般方程 (＞0).

(3)圆的参数方程 .

(4)圆的直径式方程 (圆的直径的端点是、).

l　　　　　 圆系方程

(1)过点,的圆系方程是

,其中是直线的方程,λ是待定的系数．

(2)过直线:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数．

(3) 过圆:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数．

l　　　　　 点与圆的位置关系

点与圆的位置关系有三种

若，则

点在圆外;点在圆上;点在圆内.

l　　　　　 直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有三种:

;

;

.

其中.

l　　　　　 两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O₁，O₂，半径分别为r₁，r₂，

;

;

;

;

.

75.无理不等式

(1) .

(2).

(3).

l　　　　　 指数不等式与对数不等式

(1)当时,

;

.

(2)当时,

;

直线方程

l　　　　　 斜率公式

①(、).②　 k=tanα(α为直线倾斜角)

l　　　　　 直线的五种方程

(1)点斜式 　(直线过点，且斜率为)．

(2)斜截式 (b为直线在y轴上的截距).

(3)两点式 ()(、 ()).

(4)截距式　 (分别为直线的横、纵截距，)

(5)一般式 (其中A、B不同时为0).

l　　　　　 两条直线的平行和垂直

(1)若，

①_;

②.

(2)若,,且A₁、A₂、B₁、B₂都不为零,

①；

②两直线垂直的充要条件是 ；即：

l　　　　　 夹角公式

(1).

(，,)

(2).

(,,).

直线时，直线l₁与l₂的夹角是.

l　　　　　 到的角公式

(1).

(，,)

(2).

(,,).

直线时，直线l₁到l₂的角是.

l　　　　　 四种常用直线系方程

　(1)定点直线系方程：经过定点的直线系方程为(除直线),其中是待定的系数; 经过定点的直线系方程为,其中是待定的系数．

(2)共点直线系方程：经过两直线,的交点的直线系方程为(除)，其中λ是待定的系数．

(3)平行直线系方程：直线中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线平行的直线系方程是()，λ是参变量．

(4)垂直直线系方程：与直线 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是,λ是参变量．

l　　　　　 点到直线的距离

(点,直线：).

l　　　　　 或所表示的平面区域

设直线，若A>0,则在坐标平面内从左至右的区域依次表示 ，，若A<0,则在坐标平面内从左至右的区域依次表示 ，，可记为“x 为正开口对，X为负背靠背“。(正负指X的系数A，开口对指”<>"，背靠背指"><")

39.数列的同项公式与前n项的和的关系

( 数列的前n项的和为)

　　　　　 数列

l　　　　　 等差数列的通项公式；

其前n项和公式为.

l　　　　　 等比数列的通项公式；

其前n项的和公式为

或.

l　　　　　 等比差数列:的通项公式为

；

其前n项和公式为

.

l　　　　　 分期付款(按揭贷款)

每次还款元(贷款元,次还清,每期利率为).

三角函数

l　　　　　 常见三角不等式

(1)若，则.(2) 若，则.

(3) .

l　　　　　 同角三角函数的基本关系式

，=，.

l　　　　　 正弦、余弦的诱导公式

　 　

l　　　　　 和角与差角公式

　　 ;

;

.

(平方正弦公式);

.

=(辅助角所在象限由点的象限决定, ).

l　　　　　 半角正余切公式：

l　　　　　 二倍角公式　

...

l　　　　　 三倍角公式

.

..

l　　　　　 三角函数的周期公式

函数，x∈R及函数，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期；函数，(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期.

l　　　　　 正弦定理　.

l　　　　　 余弦定理

;;.

l　　　　　 面积定理

(1)(分别表示a、b、c边上的高).

(2).

(3).

l　　　　　 三角形内角和定理　

在△ABC中，有

.

l　　　　　 在三角形中有下列恒等式：

①

②

l　　　　　 简单的三角方程的通解

　　 .

　　 .

.

特别地,有

.

　　 .

.

l　　　　　 最简单的三角不等式及其解集

　　 .

.

　　 .

　　 .

　　 .

.

l　　　　　 角的变形：向量

l　　　　　 实数与向量的积的运算律

设λ、μ为实数，那么

(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;

(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.

l　　　　　 向量的数量积的运算律：

(1) a·b= b·a (交换律);(2)(a)·b= (a·b)=a·b= a·(b);

(3)(a+b)·c= a ·c +b·c.

l　　　　　 平面向量基本定理　

如果e₁、e ₂是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ₁、λ₂，使得a=λ₁e₁+λ₂e₂．

不共线的向量e₁、e₂叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

l　　　　　 向量平行的坐标表示　

　　 设a=,b=，且b0，则ab(b0).

l　　　　　 a与b的数量积(或内积)

a·b=|a||b|cosθ．

l　　　　　 a·b的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．

l　　　　　 平面向量的坐标运算

(1)设a=,b=，则a+b=.

(2)设a=,b=，则a-b=.　

　　 (3)设A，B,则.

(4)设a=，则a=.

(5)设a=,b=，则a·b=.

l　　　　　 两向量的夹角公式

(a=,b=).

l　　　　　 平面两点间的距离公式

　=

(A，B).

l　　　　　 向量的平行与垂直

设a=,b=，且b0，则

A||bb=λa .

ab(a0)a·b=0.

l　　　　　 线段的定比分公式 　

设，，是线段的分点,是实数，且，则

().

l　　　　　 三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐标是.

l　　　　　 点的平移公式

　.

注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形上的对应点为，且的坐标为.

l　　　　　 “按向量平移”的几个结论

(1)点按向量a=平移后得到点.

(2) 函数的图象按向量a=平移后得到图象,则的函数解析式为.

(3) 图象按向量a=平移后得到图象,若的解析式,则的函数解析式为.

(4)曲线:按向量a=平移后得到图象,则的方程为.

(5) 向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然为m=.

l　　　　　 三角形五“心”向量形式的充要条件

设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则

(1)为的外心.

(2)为的重心.

(3)为的垂心.

(4)为的内心.

(5)为的的旁心.

不等式

l　　　　　 常用不等式：

(1)(当且仅当a＝b时取“=”号)．

(2)(当且仅当a＝b时取“=”号)．

(3)

(4)柯西不等式

(5).

l　　　　　 极值定理

已知都是正数，则有

(1)若积是定值，则当时和有最小值；

(2)若和是定值，则当时积有最大值.

推广 已知，则有

(1)若积是定值,则当最大时,最大；

当最小时,最小.

(2)若和是定值,则当最大时, 最小；

当最小时, 最大.

l　　　　　 一元二次不等式，如果与同号，则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

；

.

l　　　　　 含有绝对值的不等式

当a> 0时，有

.

或.

(五)没有过去分词的动词

can(能，会)---could,　　　　　　 may(可以，可能)---might

must(必须)---must，　　 shall(将，会)---should,　　 will(将，愿意)---would

(四)ABC型：即原形、过去式和过去分词各不相同。

1、原形中含有字母i，在过去式中变为a，在过去分词中变为u。如：

begin(开始，着手)---began---begun,　　　　　 　drink(喝，饮)---drank---drunk,　

ring(响铃，打电话)---rang---rung,　　　　　　 sing(唱歌)---sang---sung　,

sink(下沉，消沉)---sank---sunk,　 　　　　　swim(游泳)---swam---swum　

　2、以字母ow或aw结尾的动词，在过去式中变成ew，过去分词则在原形后加-n。如：

blow(吹，刮风，吹气)---blew---blown, 　　grow(成长，种植，变成)---grew---grown,

know(知道，认识，了解)---knew---known， 　throw(投，掷，扔)---threw---thrown,

draw(绘画，拖，拉)---drew---drawn

注意：为了便于记忆，我们将fly(飞，飘)---flew---flown也归纳到这里。

3、原形-ear，过去式-ore，过去分词-orn。如：

bear(负担，承受，忍受)---bore---born/borne,

tear(扯破，撕开)---tore---torn,　　　　　　 wear(穿，戴)---wore---worn,

4、过去分词是在原形词尾加-n或-en。如：

　arise(升起，出现)---arose----risen,　　　　 　　　　　　be(是)---was/were---been,

beat(敲打，跳动，打赢)---beat---beaten, 　　　drive(驾驶，驱赶)---drove---driven,

eat(吃)---ate---eaten,　　　　　　　　　　　　　　　 fall(落下，倒)---fell---fallen,

forsee(预见，预知)---forsaw---forseen,　　　 forgive(原谅，宽恕)---forgave---forgiven,

give(给，付出，递给)---gave---given,　 mistake(弄错，搞混)---mistook---mistaken,

rise(上升，上涨)---rose---risen,　　　　　 see(看见，领会，拜会)---saw---seen,

sew(缝补，缝制)---sewed---sewn/sewed,　　 shake(震动，动摇)---shook---shaken,

shave(刮)---shaved---shaven/shaved,　　　 show(出示，显示)---showed---shown/showed,

sow(播种)---sowed---sown/sowed,　　　 take(拿走，花费，服用，乘坐)---took---taken,

特殊：bite(咬，叮)---bit---bitten,　　　　 forbid(禁止，不许)---forbade---forbidden,

hide(隐藏，躲藏)---hid---hidden，　　　 rewrite(重写)--- rewrote---rewritten,

ride(骑，乘车)---rode---ridden,　　　　　 write(写，著述)---wrote---written,

5、过去分词是在过去式后面-n或-en。如：

awake(唤醒)---awoke---awoken,　　　 break(打破，损坏，撕开)---broke---broken,

choose(选择)---chose---chosen,　　　　　 freeze(结冰)---froze---frozen,

speak(说，讲，发言)-spoke-spoken, 　　　　　forget(忘记)---forgot---forgotten,

steal(偷盗，窃取)---stole---stolen,　　　　 wake(唤醒，醒来)---woke---woken

　　 6、其他变化形式的动词。如：

do(做，干)---did---done，　　　　　　　　 go(去，到达)---went---gone,

lie(躺，平放，位于)---lay---lain,　　 rewind(倒带，倒片，重绕)---rewound---rewound