例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：

(1)分给甲、乙、丙三人，每人2本；

(2)分为三份，每份2本；

(3)分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；

(4)分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；

(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少1本

解：(1)根据分步计数原理得到：种；

(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有种方法．根据分步计数原理可得：，所以．因此，分为三份，每份两本一共有15种方法

点评：本题是分组中的“均匀分组”问题．

一般地：将个元素均匀分成组(每组个元素)，共有 种方法

(3)这是“不均匀分组”问题，一共有种方法．

(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有种方法．

(5)可以分为三类情况：

①“2、2、2型”即(1)中的分配情况，有种方法；

②“1、2、3型”即(4)中的分配情况，有种方法；

③“1、1、4型”，有种方法，

所以，一共有90+360+90＝540种方法．

例2．身高互不相同的7名运动员站成一排，

(1)其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列的排法有多少种？

(2)其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？

解：(1)(法一)：设想有7个位置，先将其他4人排好，有种排法；再将甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排在剩下的3个位置上，只有1种排法，根据分步计数原理，一共有种方法

(法二)：设想有7个位置，先将甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排在其中的3个位置上，有 种排法；将其他4人排在剩下的4个位置上，有种排法；根据分步计数原理，一共有种方法．

(2)(插空法)先将其余4个同学进行全排列一共有种方法，再将甲、乙、丙三名同学插入5个空位置中(但无需要进行排列)有种方法．根据分步计数原理，一共有种方法．

例3．(1) 四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？

(2) 四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？

解：(1)根据分步计数原理：一共有种方法；

(2)(捆绑法)第一步：从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一起看成一个元素有种方法；第二步：从四个不同的盒中任取三个将球放入有种方法，所以，一共有＝144种方法．

例4．马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？

解：(插空法)本题等价于在7只亮着的路灯之间的6个空档中插入3只熄掉的灯，故所求方法总数为种方法

例5．九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？

解：可以分为两类情况：① 若取出6，则有种方法；

②若不取6，则有种方法，

根据分类计数原理，一共有+＝602种方法

12．组合数的性质2：＝+

10．组合数公式：

或

11 组合数的性质1：．规定：；

9．组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示．

7．排列数的另一个计算公式：=

8组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合

说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”--无序性；⑶相同组合：元素相同

5．排列数公式：()

6阶乘：表示正整数1到的连乘积，叫做的阶乘规定．

4．排列数的定义：从个不同元素中，任取()个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示

3．排列的概念：从个不同元素中，任取()个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列

　 　　1分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有 种不同的方法

2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有 种不同的方法

　　　　 书面表达(满分20分)

　　　　 国内某家英文报纸设有一个求助信箱(Dr．Helper’s Mailbox)。请根据一份学生现状中列出的部分信息，以高三学生王勇的名义，用英语给Dr．Helper写一封短信。

　　　　 学生现状：

　　　　 1．每日在校时间9个小时；　　　　 2．每日作业时间3到4个小时；

　　　　 3．几乎没有课外活动时间；　　　　 4．每日睡眠时间不足。

　　　　 负担过重原因：

　　　　 考试压力大，作业多，家长期望高。

注意：1．词数：120左右；2．信的开头和结尾已经给出，不计入总词数。

　　　　 3．参考词汇：负担过重(overload); 压力 (pressure); 期望(expectations)

Dear Dr Helper,

I am a Senior 3 student．I am now in great need of your help because I can hardly stand the great pressure．

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　　　　 I write this letter only to wish that I could have someone to talk to．I am looking forward to your advice．