1．某物体从某一较高处自由下落，第1s内的位移是_______m，第2s末的速度是______m/s，前3s 内的平均速度是_________m/s(g取10m/s²)。

5．重力加速度的测量

研究自由落体运动通常有两种方法：用打点计时器研究自由落体运动和用频闪摄影法研究自由落体运动。研究的原理和过程与前面对小车运动的研究相同，在对纸带或照片进行数据处理，计算物体运动的加速时，可以有下面两种方法：

(1)图象法求重力加速度

以打点计时器研究自由落体运动为例，对实验得到如图2-4-1所示的纸带进行研究。

根据匀变速直线运动的一个推论：在一段时间t内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，有v₁=， v₂=……求出各计数点的瞬时速度后，由加速度的定义：计算出该物体做匀变速直线运动的加速度；或选好计时起点作v-t图象，图象的斜率即为该匀变速直线运动的加速度。

(2)逐差法求重力加速度

图2-4-1中x₁、x₂、x₃、…、x_n是相邻两计数点间的距离,Δx表示两个连续相等的时间里的位移之差,即Δx₁= x₂-x₁, Δx₂= x₃-x₂, ……T是两相邻计数点间的时间间隔且T=0.02n(n为两相邻计数点间的间隔数)。

设物体做匀变速直线运动经过计数点0时的初速度为v₀，加速度为a，由位移公式得： x₁= v₀T+aT²，x₂= v₁T+aT²，又因为v₁=v₀+aT，所以Δx= x₂-x₁= aT²。因为时间T是个恒量，物体的加速度a也是个恒量，因此，Δx必然是个恒量。这表明，只要物体做匀变速直线运动，它在任意两个连续相等时间里的位移之差就一定相等。

　　 根据x₄-x₁= (x₄-x₃)+ (x₃-x₂)+ (x₂-x₁)=3aT²，可得：

　　 a₁=，同理可得：a₂= ；a₃=。

加速度的平均值为：

=( ++)=[( x₄+x₅+x₆)- ( x₁+x₂+x₃)]

这种计算加速度的方法叫做“逐差法”。

如果不用此法，而用相邻的各x值之差计算加速度再求平均值可得：

=(++++)=

　　 比较可知，逐差法将x₁到x₆各实验数据都利用了，而后一种方法只用上了x₁和x₆两个实验数据，所以失去了多个数据正负偶然误差互相抵消的作用，算出的a值误差较大，因此实验中要采用逐差法。

[范例精析]

例1：甲球的重力是乙球的5倍，甲、乙分别从高H、2H处同时自由落下(H足够大)，下列说法正确的是(　　 )

A．同一时刻甲的速度比乙大

B．下落1m时，甲、乙的速度相同

C．下落过程中甲的加速度大小是乙的5倍

D．在自由下落的全过程，两球平均速度大小相等

　 　解析：甲、乙两球同时作初速度为零、加速度为g的直线运动，所以下落过程的任一时刻两者加速度相同、速度相同，但整个过程中的平均速度等于末速度的一半，与下落高度有关。所以正确选项为B。

拓展：自由落体运动是匀加速直线运动的一个特例，其初速度为零、加速度为g，g的大小与重力大小无关。当问题指明(或有明显暗示)空气阻力不能忽略不计时，物体运动就不再是自由落体运动。

例2：水滴由屋檐自由下落，当它通过屋檐下高为1.4m的窗户时，用时0.2s，不计空气阻力，g取10m/s²，求窗台下沿距屋檐的高度。

解析：雨滴自由下落，由题意画出雨滴下落运动的示意图如图2-4-2所示,利用自由落体运动的特点和图中的几何关系求解。

解法一：运用位移关系求解

如图2-4-2所示,①

②

③

④

由①②③④解得: 代入数据得t₁=0.6s

所以, =3.2m

解法二：利用平均速度求解

水滴通过窗户的平均速度由可得，

而平均速度等于中间时刻的瞬时速度，即

由此可得水滴经过窗台时的速度为

窗台距屋檐的高度

拓展：由该问题的解题过程可以看出，利用平均速度来解题比较方便、简捷。请思考：本题有无其它解题方法，如有，请验证答案。

例3：升降机以速度v＝4.9m/s匀速竖直上升，升降机内的天花板上有一个螺丝帽突然松脱，脱离天花板。已知升降机天花板到其地板的高度为h＝14.7m。求螺丝帽落到升降机地板所需时间。

解析：解法一：以地面为参照物求解

(1)上升过程：螺丝帽脱离升降机后以v=4.9m/s初速度竖直向上运动

上升到最高点时间：=0.5s

上升到最高点的位移：=1.225m

螺丝帽的运动过程如图2-4-3所示，由图中位移约束关系得：

h₁+h=h₂+v(t₁+t₂) 即

　 代入数据化简得：

解得：t₂=-0.5 s

因此，螺丝帽落到升降机地板所需时间t=t₁+t₂=s=1.73s

解法二：以升降机为参照物求解

我们以升降机为参考系，即在升降机内观察螺丝帽的运动，因为升降机做匀速直线运动，所以相对于升降机而言，螺丝帽的下落加速度仍然是重力加速度。显然，螺丝帽相对于升降机的运动是自由落体运动，相对位移大小即升降机天花板到其地板的高度。由自由落体运动的规律可得

h＝gt²

s＝1.73s

拓展：参考系选择不同，不仅物体的运动形式不同，求解时所用的物理规律也可能不同。选择适当的参考系，往往可以使问题的求解过程得到简化。

[能力训练]

4．自由落体运动是匀变速直线运动在v₀=0、a=g时的一个特例,因此其运动规律可由匀变速直线运动的一般规律来推导。

速度公式：v_t=gt

　　 位移公式：h=

　　 速度与位移的关系式：

在应用自由落体运动的规律解题时，通常选取　　　方向为正方向。

3．　　　　　　　叫做自由落体加速度，也叫　　　　，通常用符号_____表示。重力加速度g的方向总是_______________；g的大小随地点的不同而略有变化，在地球表面上赤道处重力加速度最小，数值为________，南、北两极处重力加速度_______，数值为_______；g的大小还随高度的变化而变化，高度越大，g值______。但这些差异并不是太大，在通常计算中，地面附近的g取9.8m/s²，在粗略的计算中，g还可以取10m/s²。

2．自由落体运动的特点：物体仅受重力作用；初速度v₀=____，加速度a=____，即初速度为零的匀加速直线运动。

1．物体只在___________________________________________叫做自由落体运动。这种运动只在没有空气的空间里才能发生，我们所研究的自由落体运动是实际运动的一种抽象，是一种理想化的运动模型：忽略次要因素(空气阻力)、突出主要因素(重力)。生活中的很多落体问题，如果空气阻力的作用比较小，可以忽略，物体的下落也可以近似看作自由落体运动。因此，对生活中的落体运动进行理想化处理是有实际意义的。

2.(必修1学案)4自由落体运动

[要点导学]

2. (上海徐汇区诊断)如图7所示，质量分别为M和m(M>m)的小物体用轻绳连接；跨放在半径为R的光滑半圆柱体和光滑定滑轮B上，m位于半圆柱体底端C点，半圆柱体顶端A点与滑轮B的连线水平。整个系统从静止开始运动。设m能到达圆柱体的顶端，试求：

(1)m到达圆柱体的顶端A点时，m和M的速度。

(2)m到达A点时，对圆柱体的压力。

图7

答案：(1)

(2)

例3. 如图3所示，细绳绕过两个定滑轮A和B，在两端各挂一个重为P的物体，现在A、B的中点C处挂一个重为Q的小球，Q<2P，求小球可能下降的最大距离h。已知AB的长为2L，不计滑轮和绳之间的摩擦力及绳的质量。

图3

解析：选小球Q和两重物P构成的整体为研究对象，该整体的速率从零开始逐渐增为最大，紧接着从最大又逐渐减小为零(此时小球下降的距离最大为h)，如图4在整个过程中，只有重力做功机械能守恒。

图4

因重为Q的小球可能下降的最大距离为h，所以重为P的两物体分别上升的最大距离均为。

考虑到整体初、末位置的速率均为零，故根据机械能守恒定律知，重为Q的小球重力势能的减少量等于重为P的两个物体重力势能的增加量，即。

从而解得

[模型要点]

“滑轮”模型的特点为滑轮两侧的受力大小相等，在处理功能问题时若力发生变化，通常优先考虑能量守恒规律，也可采用转化法求解。

[误区点拨]

注意“死杆”和“活杆”问题。

如：(2006年无锡统考)如图(a)轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为M₁的物体。∠ACB=30°；图(b)中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为M₂的物体，求细绳AC段的张力F_TAC与细绳EG的张力F_TEG之比？

图5

解析：图(a)中绳AC段的拉力F_TAC＝M₁g

图(b)中由于F_TEGsin30°=M₂g，解得：

[模型演练]

1. 在图6所示的装置中，绳子与滑轮的质量不计，摩擦不计，悬点a与b之间的距离远大于两轮的直径，两个物体的质量分别为m₁和m₂，若装置处于静止状态，则下列说法错误的是(　　 )

A. 可以大于

B. 必定大于

C. 必定等于

D. 与必定相等

答案：C

图6

例2. 如图2所示在车厢中有一条光滑的带子(质量不计)，带子中放上一个圆柱体，车子静止时带子两边的夹角∠ACB=90°，若车厢以加速度a=7.5m/s²向左作匀加速运动，则带子的两边与车厢顶面夹角分别为多少？

图2

解析：设车静止时AC长为，当小车以向左作匀加速运动时，由于AC、BC之间的类似于“滑轮”，故受到的拉力相等，设为F_T，圆柱体所受到的合力为ma，在向左作匀加速，运动中AC长为，BC长为

由几何关系得

由牛顿运动定律建立方程：

代入数据求得

说明：本题受力分析并不难，但是用数学工具解决物理问题的能力要求较高。