4．函数定义域为，当时，

令，解得，∴，

又，∴

说明：对于闭区间上的连续函数，如果在相应开区间内可导，求上最值可简化过程，即直接将极值点与端点的函数值比较，即可判定最大(或最小)的函数值，就是最大(或最小)值．解决这类问题，运算欠准确是普遍存在的一个突出问题，反映出运算能力上的差距．运算的准确要依靠运算方法的合理与简捷，需要有效的检验手段，只有全方位的“综合治理”才能在坚实的基础上形成运算能力，解决运算不准确的弊病．

求两变量乘积的最大值

例　 已知为正实数，且满足关系式，求的最大值．

分析：题中有两个变量x和y，首先应选择一个主要变量，将表示为某一变量(x或y或其它变量)的函数关系，实现问题的转化，同时根据题设条件确定变量的取值范围，再利用导数(或均值不等式等)求函数的最大值．

解：解法一：，

∴．

由解得．

设

当时，

　　　　　　 　　　　．

令，得或(舍)．

∴，又，∴函数的最大值为．

即的最大值为．

解法二：由得，

设，

∴，设，

则

令，得或．

，此时

∴

即当时，

说明：进行一题多解训练，是一种打开思路，激发思维，巩固基础，沟通联系的重要途径，但要明确解决问题的策略、指向和思考方法，需要抓住问题的本质，领悟真谛，巧施转化，方可快捷地与熟悉的问题接轨，在实现转化的过程中，关键是要注意变量的取值范围必须满足题设条件，以免解题陷于困境，功亏一篑．

3．．

令，即，解得

当时，，当时，．

∴函数在点处取得极小值，也是最小值为

即．

2．，令，得，

∴，

又．

∴

4．．

分析：函数在给定区间上连续可导，必有最大值和最小值，因此，在求闭区间上函数的最值时，只需求出函数在开区间内的极值，然后与端点处函数值进行比较即可．

解：1．，令，得，

∴．又

∴

3．

2．；

1．；

2．．

若满足条件的存在，则

∵函数在内是减函数，∴当时，，

即对于恒成立．

∴

∴，解得．

又函数在(－1，0)上是增函数，∴当时，

即对于恒成立，

∴

∴，解得．

故当时，在上是减函数，在(－1，0)上是增函数，即满足条件的存在．

说明：函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式，它包含着运动、变化，也就存在着量与量之间的相互依赖、相互制约的关系．因此挖掘题目中的隐含条件则是打开解题思路的重要途径，具体到解题的过程，学生很大的思维障碍是迷失方向，不知从何处入手去沟通已知与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成问题的解决．不善于应用恒成立和恒成立，究其原因是对函数的思想方法理解不深．

利用导数比较大小

例　 已知a、b为实数，且，其中e为自然对数的底，求证：．

分析：通过考察函数的单调性证明不等式也是常用的一种方法．根据题目自身的特点，适当的构造函数关系，在建立函数关系时，应尽可能选择求导和判断导数都比较容易的函数，一般地，证明，可以等价转化为证明，如果，则函数在上是增函数，如果，由增函数的定义可知，当时，有，即．

解：证法一：

，∴要证，只要证，

设，则．

，∴，且，∴

∴函数在上是增函数．

∴，即，

∴

证法二：要证，只要证，

即证，设，则，

∴函数在上是减函数．

又，即

说明：“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合．解决这种问题常见的思维误区是不善于构造函数或求导之后得出的错误结论．

判断函数在给定区间上的单调性

例　 函数在区间上是(　 )

　　 A．增函数，且　 B．减函数，且

　　 C．增函数，且　 D．减函数，且

分析：此题要解决两个问题：一是要判断函数值y的大小；二是要判断此函数的单调性．

解：解法一：令，且，

则，排除A、B．

由复合函数的性质可知，u在 上为减函数．

又亦为减函数，故在 　上为增函数，排除D，选C．

解法二：利用导数法

()，故y在上是增函数．

由解法一知．所以选C．

说明：求函数的值域，是中学教学中的难关．一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以用函数的单调性求出最大、最小值等(包括初等方法和导数法)．对于复合函数的单调性问题，简单的复合函数是可以利用复合函数的性质进行判断，但是利用导数法判断一些较复杂的复合函数还是有很大优势的．

2．设，试问：是否存在实数，使在内为减函数，且在(－1，0)内是增函数．

分析：根据题设条件可以求出的表达式，对于探索性问题，一般先对结论做肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，由推证结果是否出现矛盾来作出判断．解题的过程实质是一种转化的过程，由于函数是可导函数，因此选择好解题的突破口，要充分利用函数的单调性构造等价的不等式，确定适合条件的参数的取值范围，使问题获解．

解：1．由题意得，

，

∴

∴

1．设，求的解析式；