2．要熟练掌握空间向量平行、垂直的条件及三个向量共面及四点共面的条件，掌握运用向量判定平行、垂直和求空间直线所成的角的方法.

　同步练习　　　　 　　　　9.7空间向量

[选择题]

1．在处理立体几何中的平行、垂直或求两异面直线所成的角时,用向量来解决思维简单，是模式化了的方法，是行之有效的方法.

2．用向量研究研究问题可以建立坐标系用向量的代数形式，也可用向量的几何形式.

[例3] 已知=(2，2，1)，=(4，5，3)，求平面ABC的单位法向量.

解：设面ABC的法向量n=(x，y，1)，则n⊥且n⊥，即n·=0，且n·=0，即　

∴n=(，－1，1)，单位法向量n₀=±=±(，－，).

思悟提练

求法向量一般用待定系数法.常把n的某个坐标设为1，再求另两个坐标.平面法向量是垂直于平面的向量，有方向相反的两个.

单位法向量只需将法向量再除以它的模.

[例1]如图,在平行六面体中,是的中点.

求证:(1)∥面.

(2)设E、F、G、H、K、L依次是棱AB、BC、CC₁、C₁D₁、D₁A₁、A₁A的中点，则这六点共面.

分析:只需证明与面中的一组基向量共面.

证明(1):设

因为为平行四边形,

,又O是的中点,

　 若存在实数使成立,则

因为向量不共线,

,.

所以是共面向量,

因为不在所确定的平面内,

∥面,又面,

∥面.

(2)

不共线，可作为基底，再依次证明、…能用这组基底表示即可，试试如何？

[例2] 在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=.

(1)求证：SC⊥BC；

(2)求SC与AB所成角的余弦值.

(3)若E、F、G分别是AB、AC、SB的中点，

求证：平面EFG⊥平面ACG..

思路1：要用向量来研究线面的位置关系，需要有一组基底把有关的向量表示出来，再用向量运算的几何意义来研究。

解法1：(1)设，由已知得：

，

.

(2)

所以SC与AB所成的角为arccos.

(3)

思路2：图中垂直关系较为明显，容易建立坐标系的，可以建立空间直角坐标系，利用向量的代数运算来研究.

解法2：如下图，取A为原点，AD、AC、AS分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系(一般建成右手系)，则由AC=2，BC=，SB=，得C(0，2，0)，B(，2，0)、S(0，0，2)。

　=(0，2，－2)，=(，0，0).

(1)∵=0，∴SC⊥BC.

(2)设SC与AB所成的角为θ，

∵=(，2，0)，·=4，||| |=4，∴cosθ=，即为所求.

(3)

,

思悟提练

1.利用空间向量可以解决立体几何中的线线垂直、线线平行、四点共面、求长度、求夹角等问题.

5.提示:设AD中点为G，得=3a+3b－5c.

5.=3a+3b－5c.　　　　　 6.120°

6.已知空间三点A(1，1，1)、B(－1，0，4)、C(2，－2，3)，则与的夹角θ的大小是_________.

◆答案提示：1-3.CCB;　　 4. k=.　

5.已知四边形ABCD中，=a－2c，=5a+6b－8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则=_____________.

4.已知向量a=(1，1，0)，b=(－1，0，2)，且

ka+b与2a－b互相垂直，则k值是　　　　

3.若a=(2x，1，3)，b=(1，－2y，9)，如果a与b为共线向量，则　　　 (　 )

A.x=1，y=1　　　　 B. x=，y=－　　　

C. x=，y=－　 D.x=－，y=