10．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，(1)已知AB₁^BC₁，求证：AB₁^A₁C；(2)当AB=2，AA₁=4时，求异面直线BC₁与A₁C所成角的余弦值．

解：(1)设=a，=b，=c，则=a+c，=b-a+c，=b-c．

∵^，∴(a+c)×(b-a+c)=0，即c²-a²+a×b=0．

又设==x，=h，则h²-x²+x²=0，∴x²=2h²．

×=(a+c)×(b-c)=a×b-c²=x²-h²=h²-h²=0．

(2)==，×=(b-a+c)×(b-c)=b²-c²-a×b=-14

设异面直线BC₁与A₁C所成的角为q，

则cosq=|cos<, >|==．

即异面直线BC₁与A₁C所成角的余弦值为．

[探索题]如下图，直棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分别是A₁B₁、A₁A的中点.

(1)求的长；

(2)求cos〈〉的值；

(3)求证：A₁B⊥C₁M.

(1)解：依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，

∴｜｜==.

(2)解：A₁(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B₁(0，1，2)，

∴=(1，－1，2)，=(0，1，2)，·=3，｜｜=，｜｜=.

∴cos〈，〉==.

(3)证明：C₁(0，0，2)，M(，，2)，

=(－1，1，－2)，=(，，0)，∴·=0，∴A₁B⊥C₁M.

9．在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BD₁交平面ACB₁于点E，

求证：(1)BD₁⊥平面ACB₁；

(2)BE=ED₁.

证明：(1)，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0), B(1,1,0), C(0,1,0), D₁(0,0,1), B₁(1,1,1)

(2)设

设

，

8.已知空间四边形中,且分别是的中点,是中点.求证:

证明:连结由线段中点公式得:

且,

7．设A、B、C及A₁、B₁、C₁分别是异面直线l₁、l₂上的三点，而M、N、P、Q分别是线段AA₁、BA₁、BB₁、CC₁的中点.求证：M、N、P、Q四点共面.

证明：，

A、B、C及A₁、B₁、C₁分别共线，

∴

∴、　 ∴M、N、P、Q四点共面.

6． A是△BCD所在平面外一点，M、N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD=4，则MN的长为　　　 .

答案:　 1-3, ACC;　 4. ;　 5. 　a=16　 6.

[解答题]

5. 设点C(2a+1，a+1，2)在点P(2，0，0)、A(1，－3，2)、B(8，－1，4)确定的平面上，a的值等于　　　　 ;

4.已知点A(1，2，1)、B(－1，3，4)、D(1，1，1)，若，则| |的值是__________.

3．下列命题中不正确的命题个数是

①若A、B、C、D是空间任意四点，则有++ +=0　 ②|a|－|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件　

③若a、b共线，则a与b所在直线平行

④对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若=x+y+z(其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面　　 (　 )　　

　A.1　　 　　 B.2　　 　　　　　　　 C.3　　 　　　　　　　 D.4

[填空题]

2.在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，下列叙述中正确的个数是　　　　　　　　　　 (　 )

①点P关于x轴对称点的坐标是P₁(x，－y，z)

②点P关于yOz平面对称点的坐标是P₂(x，－y，－z)

③点P关于y轴对称点的坐标是P₃(x，－y，z)　

④点P关于原点对称的点的坐标是P₄(－x，－y，－z)

A.3　　　 　　 B.2　　　 　　　 C.1　　 　　　　　　　　 D.0

1.平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为AC和BD的交点，若 =a， =b， =c，则下列式子中与相等的是　　 (　 )

A.－ a+ b+c　　　　 B. a+ b+c

C. a－ b+c　 　 D.－ a－ b+c