6．直线与圆锥曲线的位置关系：

(1)相交：直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

如(1)若直线y=kx+2与双曲线x²-y²=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______；

(2)直线y―kx―1=0与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是_______

(3)过双曲线的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有_____条

(2)相切：直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；直线与抛物线相切；

(3)相离：直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线与抛物线相离。

特别提醒：(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；

(2)过双曲线＝1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；

(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。

如(1)过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有______

(2)过点(0,2)与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______

(3)对于抛物线C：，我们称满足的点在抛物线的内部，

若点在抛物线的内部，则直线：与抛物线C的位置关系是_______

(4)过抛物线的焦点作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长

分别是、，则_______

(5)设双曲线的右焦点为，右准线为，设某直线交其左支、右支和

右准线分别于，则和的大小关系为___________

(6)求椭圆上的点到直线的最短距离

(7)直线与双曲线交于、两点。①当为何值时，、分

别在双曲线的两支上？②当为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？

5、点和椭圆()的关系：

(1)点在椭圆外；

(2)点在椭圆上＝1；

(3)点在椭圆内

4.圆锥曲线的几何性质：

(1)椭圆(以()为例)：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心(0,0)，四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：两条准线； ⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。

如(1)若椭圆的离心率，则的值是_　　　　　　　　 _

(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为_　　　　　　　　　　　

(2)双曲线(以()为例)：①范围：或；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心(0,0)，两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：两条准线； ⑤离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；⑥两条渐近线：。

如(1)双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于______

(2)双曲线的离心率为，则=　　　　　　　

(3)设双曲线(a>0,b>0)中，离心率e∈[,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________

(3)抛物线(以为例)：①范围：；②焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点(0,0)；④准线：一条准线； ⑤离心率：，抛物线。

如设，则抛物线的焦点坐标为________

3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程，然后再判断)：

(1)椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_　　　　 _

(2)双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

(3)抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

特别提醒：(1)在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；(2)在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。

2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程)：

(1)椭圆：焦点在轴上时()(参数方程，其中为参数)，焦点在轴上时＝1()。方程表示椭圆的充要条件是什么？(ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B)。

如(1)已知方程表示椭圆，则的取值范围为____

(2)若，且，则的最大值是____，的最小值是___

(2)双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：＝1()。方程表示双曲线的充要条件是什么？(ABC≠0，且A，B异号)。

如(1)双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程_______

(2)设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，则C的方程为_______

(3)抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。

1.圆锥曲线的两个定义：

(1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值”与＜|FF|不可忽视。若＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|FF|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如(1)已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 　　　A． 　　　B．

C．　　　 D．

(2)方程表示的曲线是_____

(2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。

如已知点及抛物线上一动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是__　　 ___

2.(江苏卷18)设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求：

(Ⅰ)求实数b 的取值范围；

(Ⅱ)求圆C 的方程；

(Ⅲ)问圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论．

[解析]本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．

(Ⅰ)令＝0，得抛物线与轴交点是(0，b)；

令，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．

(Ⅱ)设所求圆的一般方程为

令＝0 得这与＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝．

令＝0 得＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．

所以圆C 的方程为.

(Ⅲ)圆C 必过定点(0，1)和(－2，1)．

证明如下：将(0，1)代入圆C 的方程，得左边＝0+1+2×0－(b+1)+b＝0，右边＝0，

所以圆C 必过定点(0，1)．

同理可证圆C 必过定点(－2，1)．

18.(广东卷11)经过圆的圆心，且与直线垂直的直线

方程是 　　　　　．

19已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1．

(Ⅰ)当直线过点时，求直线的方程；

(Ⅱ)当时，求菱形面积的最大值．

解：(Ⅰ)由题意得直线的方程为．

因为四边形为菱形，所以．

于是可设直线的方程为．

由得．

因为在椭圆上，

所以，解得．

设两点坐标分别为，

则，，，．

所以．

所以的中点坐标为．

由四边形为菱形可知，点在直线上，

所以，解得．

所以直线的方程为，即．

(Ⅱ)因为四边形为菱形，且，

所以．

所以菱形的面积．

由(Ⅰ)可得，

所以．

所以当时，菱形的面积取得最大值．

17.(重庆卷15)直线l与圆 (a<3)相交于两点A，B，弦AB的中点为(0，1)，则直线l的方程为　　　　 . x-y+1=0

16.(四川卷14)已知直线与圆，则上各点到的距离的最小值为_______。