1.3　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

12．(14分)(2010·郑州联考)求关于x的方程ax²+2x+1＝0至少有一个负实根的充要条件．

解　(1)a＝0适合．

(2)a≠0时，显然方程没有零根．

若方程有两异号实根，则a<0；

若方程有两个负的实根，则

必有，解得0<a≤1.

综上知，若方程至少有一个负实根，则a≤1.

反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，

因此，关于x的方程ax²+2x+1＝0至少有一负的实根的充要条件是a≤1.

11．(13分)(2009·温州十校第一学期联考)已知p：|x－3|≤2，q：(x－m+1)(x－m－1)≤0，若綈p是綈q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．

解　由题意p：－2≤x－3≤2，∴1≤x≤5.

∴綈p：x<1或x>5.q：m－1≤x≤m+1，

∴綈q：x<m－1或x>m+1.

又∵綈p是綈q的充分而不必要条件，

∴　∴2≤m≤4.

10．(13分)(2010·济宁模拟)已知命题p：

命题q：1－m≤x≤1+m，m>0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

解　p：x∈[－2,10]，q：x∈[1－m,1+m]，m>0，

∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴p⇒q且qD⇒/p.

∴[－2,10]?[1－m,1+m]．

∴　∴m≥9.

9．(2009·江苏，12)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；

②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；

③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；

④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．

上面命题中，真命题的序号为__________(写出所有真命题的序号)．

解析　命题①是两个平面平行的判定定理，正确；命题②是直线与平面平行的判定定理，

正确；命题③中在α内可以作无数条直线与l垂直，但α与β只是相交关系，不一定垂直，

错误；命题④中直线l与α垂直可推出l与α内两条直线垂直，但l与α内的两条直线垂直推不出直线l与α垂直，所以直线l与α垂直的必要不充分条件是l与α内两条直线垂直．

答案　①②

8．(2009·广州一模)设p：|4x－3|≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要条件，

则实数a的取值范围是________．

解析　p：≤x≤1，q：a≤x≤a+1，易知p是q的真子集，∴∴0≤a≤.

答案　

7．(2009·南平三模)若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的取值范围是________．

解析　x∉[2,5]且x∉{x|x<1或x>4}是真命题．

由得1≤x<2.

答案　[1,2)

6．(2009·北京文，6)“α＝”是“cos 2α＝”的　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．充分而不必要条件　 　　　　　　　　　　　 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件　 　　　　　　　　　　　　　　 D．既不充分也不必要条件

解析　当α＝时，cos　 2α＝cos＝；而当α＝－时，cos 2α＝cos＝，这说明当cos 2α＝时，α除外还可以取其他的值．所以“α＝”是“cos 2α＝”的充分而不必要条件．

答案　A

5．(2010·枣庄一模)集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x<a}，则“A⊆B”是“a>5”的(　)

A．充分不必要条件　 　　　　　　　　　　　　　 B．必要不充分条件

C．充要条件　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．既不充分也不必要条件

解析　A＝{x|－4≤x≤4}，若A⊆B，则a>4，

a>4D⇒/a>5，但a>5⇒a>4.

故“A⊆B”是“a>5”的必要不充分条件．

答案　B

4．(2010·衡阳四校联考)已知A＝{x||x－1|≥1，x∈R}，B＝{x|log₂x>1，x∈R}，则“x∈A”是“x∈B”的　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．充分不必要条件　 　　　　　　　　　　　　　 B．必要不充分条件

C．充分必要条件　 　　　　　　　　　　　　　　 D．既不充分也不必要条件

解析　A＝{x|x≥2或x≤0}，B＝{x|x>2}，

x∈AD⇒/x∈B，但x∈B⇒x∈A.

答案　B