2．；

1．；

3．等比数列的性质

①等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有；

②对于等比数列，若，则，也就是：，如图所示：。

③若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列。

如下图所示：

2．等比数列的判定方法

①定义法：对于数列，若，则数列是等比数列；

②等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列。

1．等比数列的知识要点(可类比等差数列学习)

(1)掌握等比数列定义＝q(常数)(nN)，同样是证明一个数列是等比数列的依据，也可由a_n·a_n+2＝来判断；

(2)等比数列的通项公式为a_n＝a₁·q^n－1；

(3)对于G 是a、b 的等差中项，则G²＝ab，G＝±；

(4)特别要注意等比数列前n 项和公式应分为q＝1与q≠1两类，当q＝1时，S_n＝na₁，当q≠1时，S_n＝，S_n＝。

题型1：等比数列的概念

例1．“公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为的等比数列一定是递减数列”；“a,b,c三数成等比数列的充要条件是b²=ac”；“a,b,c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c”，以上四个命题中，正确的有(　　 )

A．1个　　　　 　　 　　 B．2个　　　　　　　　 　　 C．3个　　　　　　　 　 D．4个

解析：四个命题中只有最后一个是真命题。

命题1中未考虑各项都为0的等差数列不是等比数列；

命题2中可知a_n+1=a_n×，a_n+1<a_n未必成立，当首项a₁<0时，a_n<0，则a_n>a_n，即a_n+1>a_n，此时该数列为递增数列；

命题3中，若a=b=0，c∈R，此时有，但数列a,b,c不是等比数列，所以应是必要而不充分条件，若将条件改为b=，则成为不必要也不充分条件。

点评：该题通过一些选择题的形式考察了有关等比数列的一些重要结论，为此我们要注意一些有关等差数列、等比数列的重要结论。

例2．命题1：若数列{a_n}的前n项和S_n=aⁿ+b(a≠1)，则数列{a_n}是等比数列；

命题2：若数列{a_n}的前n项和S_n=an²+bn+c(a≠0)，则数列{a_n}是等差数列；

命题3：若数列{a_n}的前n项和S_n=na－n，则数列{a_n}既是等差数列，又是等比数列；上述三个命题中，真命题有(　　 )

A．0个　　　　　　　　 　　 B．1个　　　　　　　　 　　 C．2个　　　　　　　　 　 D．3个

解析： 由命题1得，a₁=a+b，当n≥2时，a_n=S_n－S_n－1=(a－1)·a^n－1。若{a_n}是等比数列，则=a，即=a，所以只有当b=－1且a≠0时，此数列才是等比数列。

由命题2得，a₁=a+b+c，当n≥2时，a_n=S_n－S_n－1=2na+b－a，若{a_n}是等差数列，则a₂－a₁=2a，即2a－c=2a，所以只有当c=0时，数列{a_n}才是等差数列。

由命题3得，a₁=a－1，当n≥2时，a_n=S_n－S_n－1=a－1，显然{a_n}是一个常数列，即公差为0的等差数列，因此只有当a－1≠0；即a≠1时数列{a_n}才又是等比数列。

点评：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，上述三个命题均涉及到S_n与a_n的关系，它们是a_n=，正确判断数列{a_n}是等差数列或等比数列，都必须用上述关系式，尤其注意首项与其他各项的关系。上述三个命题都不是真命题，选择A。

题型2：等比数列的判定

例3．(2000全国理，20)(Ⅰ)已知数列{c_n}，其中c_n＝2ⁿ+3ⁿ，且数列{c_n+1－pc_n}为等比数列，求常数p；(Ⅱ)设{a_n}、{b_n}是公比不相等的两个等比数列，c_n=a_n+b_n，证明数列{c_n}不是等比数列。

解析：(Ⅰ)解：因为{c_n+1－pc_n}是等比数列，

故有：(c_n+1－pc_n)²＝(c_n+2－pc_n+1)(c_n－pc_n－1)，

将c_n＝2ⁿ+3ⁿ代入上式，得：

［2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹－p(2ⁿ+3ⁿ)］²＝［2ⁿ⁺²+3ⁿ⁺²－p(2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹)］·［2ⁿ+3ⁿ－p(2^n－1+3^n－1)］，

即［(2－p)2ⁿ+(3－p)3ⁿ］²

＝［(2－p)2ⁿ⁺¹+(3－p)3ⁿ⁺¹］［(2－p)2^n－1+(3－p)3^n－1］，

整理得(2－p)(3－p)·2ⁿ·3ⁿ＝0，解得p=2或p=3。

(Ⅱ)证明：设{a_n}、{b_n}的公比分别为p、q，p≠q，c_n=a_n+b_n。

为证{c_n}不是等比数列只需证c₂²≠c₁·c₃。

事实上，c₂²＝(a₁p+b₁q)²＝a₁²p²+b₁²q²+2a₁b₁pq，

c₁·c₃＝(a₁+b₁)(a₁p²+b₁q²)＝a₁²p²+b₁²q²+a₁b₁(p²+q²)，

由于p≠q，p²+q²＞2pq，又a₁、b₁不为零，

因此c₂²≠c₁·c₃，故{c_n}不是等比数列。

点评：本题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力。

例4．(2003京春，21)如图3-1，在边长为l的等边△ABC中，圆O₁为△ABC的内切圆，圆O₂与圆O₁外切，且与AB，BC相切，…，圆O_n+1与圆O_n外切，且与AB、BC相切，如此无限继续下去.记圆O_n的面积为a_n(n∈N^*)，证明{a_n}是等比数列；

证明：记r_n为圆O_n的半径，则r₁=tan30°=。=sin30°=，所以r_n=r_n－1(n≥2)，于是a₁=πr₁²=，故{a_n}成等比数列。

点评：该题考察实际问题的判定，需要对实际问题情景进行分析，最终对应数值关系建立模型加以解析。

题型3：等比数列的通项公式及应用

例5．一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列。

解析：设所求的等比数列为a，aq，aq²；

则2(aq+4)=a+aq²，且(aq+4)²=a(aq²+32)；

解得a=2，q=3或a=，q=－5；

故所求的等比数列为2，6,18或，－，。

点评：第一种解法利用等比数列的基本量，先求公比，后求其它量，这是解等差数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁。

例6．(2006年陕西卷)已知正项数列，其前项和满足且成等比数列，求数列的通项

解析：∵10S_n=a_n²+5a_n+6， ①

∴10a₁=a₁²+5a₁+6，解之得a₁=2或a₁=3。

又10S_n－1=a_n－1²+5a_n－1+6(n≥2)，②

由①－②得 10a_n=(a_n²－a_n－1²)+6(a_n－a_n－1)，即(a_n+a_n－1)(a_n－a_n－1－5)=0

∵a_n+a_n－1>0　 , ∴a_n－a_n－1=5 (n≥2)。

当a₁=3时，a₃=13，a₁₅=73，a₁, a₃,a₁₅不成等比数列

∴a₁≠3；

当a₁=2时,，a₃=12， a₁₅=72，有 a₃²=a₁a₁₅ , ∴a₁=2, ∴a_n=5n－3。

点评：该题涉及等比数列的求和公式与等比数列通项之间的关系，最终求得结果。

题型4：等比数列的求和公式及应用

例7．(1)(2006年辽宁卷)在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列，则等于(　 )

A．　　 　　　　　 B． 　　　　　　　　　　 C．　 　　　　　　　　　　 D．

(2)(2006年北京卷)设，则等于(　 )

　　　 A．　　　　　　　 B．　　　 C．　　 　 D．

(3)(1996全国文，21)设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₃+S₆＝2S₉，求数列的公比q；解析：(1)因数列为等比，则，因数列也是等比数列，

则

即，所以，故选择答案C。

(2)D；

(3)解：若q=1，则有S₃=3a₁，S₆=6a₁，S₉=9a₁。

因a₁≠0，得S₃+S₆≠2S₉，显然q=1与题设矛盾，故q≠1。

由S₃+S₆=2S₉，得，整理得q³(2q⁶－q³－1)=0，由q≠0，得2q⁶－q³－1=0，从而(2q³+1)(q³－1)=0，因q³≠1，故q³=－，所以q=－。

点评：对于等比数列求和问题要先分清数列的通项公式，对应好首项和公比求出最终结果即可。

例8．(1)(2002江苏，18)设{a_n}为等差数列，{b_n}为等比数列，a₁＝b₁＝1，a₂+a₄＝b₃，b₂b₄＝a₃．分别求出{a_n}及{b_n}的前10项的和S₁₀及T₁₀；

(2)(2001全国春季北京、安徽，20)在1与2之间插入n个正数a₁，a₂，a₃……，a_n，使这n+2个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数b₁，b₂，b₃，……，b_n，使这n+2个数成等差数列.记A_n＝a₁a₂a₃……a_n，B_n＝b₁+b₂+b₃+……+b_n.

(Ⅰ)求数列{A_n}和{B_n}的通项；

(Ⅱ)当n≥7时，比较A_n与B_n的大小，并证明你的结论。

(3)(2002天津理，22)已知{a_n}是由非负整数组成的数列，满足a₁＝0，a₂＝3，

a_n+1a_n＝(a_n－1+2)(a_n－2+2)，n＝3，4，5，…．

(Ⅰ)求a₃；

(Ⅱ)证明a_n＝a_n－2+2，n＝3，4，5，…；

(Ⅲ)求{a_n}的通项公式及其前n项和S_n。

解析：(1)∵{a_n}为等差数列，{b_n}为等比数列，

∴a₂+a₄＝2a₃，b₂b₄＝b₃²．

已知a₂+a₄＝b₃，b₂b₄＝a₃，

∴b₃＝2a₃，a₃＝b₃²．

得 b₃＝2b₃²．

∵b₃≠0　 ∴b₃＝，a₃＝．

由a₁＝1，a₃＝知{a_n}的公差为d＝，

∴S₁₀＝10a₁+．

由b₁＝1，b₃＝知{b_n}的公比为q＝或q＝．

当q＝时，，

当q＝时，。

(2)(Ⅰ)设公比为q，公差为d，等比数列1，a₁，a₂，……，a_n，2，等差数列1，b₁，b₂，……，b_n，2。

则A₁＝a₁＝1·q　 A₂＝1·q·1·q²　 A₃＝1·q·1·q²·1·q³

又∵a_n+2＝1·qⁿ⁺¹＝2得qⁿ⁺¹＝2，

A_n＝q·q²…qⁿ＝q(n＝1，2，3…)

又∵b_n+2＝1+(n+1)d＝2　 ∴(n+1)d＝1

B₁＝b₁＝1+d　 B₂＝b₂+b₁＝1+d+1+2d　 B_n＝1+d+…+1+nd＝n

(Ⅱ)A_n＞B_n，当n≥7时

证明：当n＝7时，2^3．5＝8·＝A_n　 B_n＝×7，∴A_n＞B_n

设当n＝k时，A_n＞B_n，则当n＝k+1时，　　　　　　　

又∵A_k+1＝·　 且A_k＞B_k　 ∴A_k+1＞·k

∴A_k+1－B_k+1＞

又∵k＝8，9，10…　 ∴A_k+1－B_k+1＞0，综上所述，A_n＞B_n成立.

(3)(Ⅰ)解：由题设得a₃a₄＝10，且a₃、a₄均为非负整数，所以a₃的可能的值为1，2，5，10．

若a₃＝1，则a₄＝10，a₅＝，与题设矛盾．

若a₃＝5，则a₄＝2，a₅＝，与题设矛盾．

若a₃＝10，则a₄＝1，a₅＝60，a₆＝，与题设矛盾.

所以a₃＝2.

(Ⅱ)用数学归纳法证明：

①当n＝3，a₃＝a₁+2，等式成立；

②假设当n＝k(k≥3)时等式成立，即a_k＝a_k－2+2,由题设a_k+1a_k＝(a_k－1+2)·(a_k－2+2)，因为a_k＝a_k－2+2≠0，所以a_k+1＝a_k－1+2，

也就是说，当n＝k+1时，等式a_k+1＝a_k－1+2成立；

根据①和②，对于所有n≥3，有a_n+1=a_n－1+2。

(Ⅲ)解：由a_2k－1＝a_2(k－1)－1+2，a₁＝0，及a_2k＝a_2(k－1)+2，a₂＝3得a_2k－1＝2(k－1)，a_2k＝2k+1，k＝1，2，3，…，即a_n＝n+(－1)ⁿ，n＝1，2，3，…。

所以S_n＝

点评：本小题主要考查数列与等差数列前n项和等基础知识，以及准确表述，分析和解决问题的能力。

题型5：等比数列的性质

例9．(1)(2005江苏3)在各项都为正数的等比数列{a_n}中，首项a₁＝3，前三项和为21，则a₃+a₄+a₅＝(　　 )

(A)33　　　　 (B)72　　　　 (C)84　　　　 (D)189

(2)(2000上海，12)在等差数列{a_n}中，若a₁₀＝0，则有等式a₁+a₂+…+a_n=a₁+a₂+…+a_19－n(n＜19，n∈N成立.类比上述性质，相应地：在等比数列{b_n}中，若b₉＝1，则有等式　　 成立。

解析：(1)答案：C；解：设等比数列{a_n}的公比为q(q>0)，由题意得:a₁+a₂+a₃=21,即3+3q+3q²=21,q²+q-6=0，求得q=2(q=－3舍去)，所以a₃+a₄+a₅=q²(a₁+a₂+a₃)=4故选C。

(2)答案：b₁b₂…b_n＝b₁b₂…b_17－n(n＜17，n∈N^*)；

解：在等差数列{a_n}中，由a₁₀＝0，得a₁+a₁₉＝a₂+a₁₈＝…＝a_n+a_20－n＝a_n+1+a_19－n＝2a₁₀＝0，

所以a₁+a₂+…+a_n+…+a₁₉＝0，即a₁+a₂+…+a_n＝－a₁₉－a₁₈－…－a_n+1，

又∵a₁＝－a₁₉，a₂＝－a₁₈，…，a_19－n＝－a_n+1

∴a₁+a₂+…+a_n＝－a₁₉－a₁₈－…－a_n+1＝a₁+a₂+…+a_19－n，

若a₉＝0，同理可得a₁+a₂+…+a_n＝a₁+a₂+a_17－n，

相应地等比数列{b_n}中，则可得：b₁b₂…b_n＝b₁b₂…b_17－n(n＜17，n∈N^*)。

点评：本题考查了等比数列的相关概念及其有关计算能力。

例10．(1)设首项为正数的等比数列，它的前n项和为80，前2n项和为6560，且前n项中数值最大的项为54，求此数列的首项和公比q。

(2)在和之间插入n个正数，使这个数依次成等比数列，求所插入的n个数之积。

(3)设等比数列{a_n}的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lga_n}的前多少项和最大？(lg2=0　 3,lg3=0.4)

解析：(1)设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，依题意设：a₁＞0，S_n=80 ，S_2n=6560。

　∵S_2n≠2S_n ，∴q≠1；

从而 =80，且=6560。

两式相除得1+qⁿ=82 ，即qⁿ=81。

∴a₁=q－1＞0 即q＞1,从而等比数列{a_n}为递增数列，故前n项中数值最大的项为第n项。

∴a₁q^n-1=54,从而(q－1)q^n-1=qⁿ-q^n-1=54。

∴q^n-1=81－54=27

∴q==3。

∴a₁=q－1=2

故此数列的首为2，公比为3。

(2)解法1：设插入的n个数为，且公比为q，

则

。

解法2：设插入的n个数为，

。

(3)解法一　 设公比为q,项数为2m,m∈N^*，

依题意有：，

化简得，

设数列{lga_n}前n项和为S_n，

则S_n=lga₁+lga₁q²+…+lga₁q^n－1=lga₁ⁿ·q^{1+2+…+(n－1)}

=nlga₁+n(n－1)·lgq=n(2lg2+lg3)－n(n－1)lg3

=(－)·n²+(2lg2+lg3)·n

可见，当n=时，S_n最大，

而=5,故{lga_n}的前5项和最大，

解法二　 接前，,于是lga_n=lg［108()^n－1］=lg108+(n－1)lg，

∴数列{lga_n}是以lg108为首项，以lg为公差的等差数列，

令lga_n≥0，得2lg2－(n－4)lg3≥0，

∴n≤=5.5，

由于n∈N^*,可见数列{lga_n}的前5项和最大。

点评：第一种解法利用等比数列的基本量，先求公比，后求其它量，这是解等差数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁；第二种解法利用等比数列的性质，与“首末项等距”的两项积相等，这在解题中常用到。

题型6：等差、等比综合问题

例11．(2006年广东卷)已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为。

(Ⅰ)求数列的首项和公比；

(Ⅱ)对给定的，设是首项为，公差为的等差数列．求数列的前10项之和。

解析：(Ⅰ)依题意可知：，

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,，所以数列的的首项为,公差，,即数列的前10项之和为155。

点评：对于出现等差、等比数列的综合问题，一定要区分开各自的公式，不要混淆。

4．等比数列前n项和公式

一般地，设等比数列的前n项和是，当时， 或；当q=1时，(错位相减法)。

说明：(1)和各已知三个可求第四个；(2)注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；(3)应用求和公式时，必要时应讨论的情况。

3．等比中项

如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项(两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项)。

2．等比数列通项公式为：。

说明：(1)由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；(2)等比数列的通项公式知：若为等比数列，则。

1．等比数列定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：：数列对于数列(1)(2)(3)都是等比数列，它们的公比依次是2，5，。(注意：“从第二项起”、“常数”、等比数列的公比和项都不为零)