4.(2005启东市调研)在斜△ABC中，sinA=－cosBcosC且tanBtanC=1－，则∠A的值为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　 )

A.　　　　　　　 B.　　　　　　　 C.　　　　　　 D.

[填空题]

3.对于函数y=cos(sinx)，正确的命题是(　 C　 )

A.它的定义域是［-1，1］ B.它是奇函数 C.y∈［cos1,1］ D.不是周期函数

2.己知0＜a＜1，＜α＜，则实数,,

的大小关系是　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

(A)M＞N＞P　 　　　　 (B)M＞P＞N　 　 (C)M＜N＜P　　 　 (D)M＜P＜N

1.(2004北京西城一模)设0＜|α|＜，则下列不等式中一定成立的是

A.sin2α＞sinα　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.cos2α＜cosα

C.tan2α＞tanα　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.cot2α＜cotα

3．三角函数综合性题目中常用到换元思想、整体代换及数形结合等；

实际应用问题主要是找出三角形及其边角关系。

同步练习　 　　　4.7 三角函数的综合应用

[选择题]

2．正、余弦定理解斜三角形的方法；

1. 三角函数的图象、性质和恒等变形，反三角函数表示角；

3.要使|AB|²取到最小值,必须保证两处等号同时成立.

[例1]求角(用反三角函数表示):

(1)已知tanx=3,x∈[0.2π]求x的值;

(2)已知cos2α=,α∈(0,),sinβ=-,β∈(π, 　)

求α+β.

解：(1)在上,时,tanx=3;

在上,,

∴x=arctan3或π+arctan3.

(2)由;得

sinα=,从而cosα=,且cosβ=-

又α+β∈(π,2π)?

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-.

∴α+βπ=

即α+β=2π-arccos

◆提炼方法：求角先求三角函数值,求什么三角函数值要先看角的范围,如本题(2)应求余弦而不能求正弦.角不在主值区间时,要借助图象、三角函数线或诱导公式写出符合条件的角。

[例2](2007启东质检)已知A、B、C是三内角，向量，且，

(1)求角A；

(2)若，求

解:(1)∵ ∴，即

,

∵，∴，∴

(2)由题知，整理得

∴，∴，∴或

而使，舍去，∴

∴

[例3]在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台

风中心位于城市O(如图)的东偏南方向

300 km的海面P处，并以20 km / h的速度向西偏北的

方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，

并以10 km / h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到

台风的侵袭。

解法一:设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km)

若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则

由余弦定理知

由于PO=300,PQ=20t

故

因此

解得

解法二:如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向. 在时刻：t(h)台风中心的坐标为

　 此时台风侵袭的区域是，其中t+60，

　 若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有

即

即，　 解得.

答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭

◆提炼方法：实际应用问题，要从中找出题中的三角形和已知的边角等条件，再设计出合理的解题方案。

[例4]已知函数的图象向右平移个单位得到函数的图象.　 ⑴求函数的表达式;

⑵证明当时，经过函数图象上任意两点的直线的斜率恒大于零.

解：(I)

(II)证明一：依题意，只需证明函数g(x)当时是增函数

在即的每一个区间上是增函数

当时，在是增函数,则当时，经过函数g(x)图像上任意两点的直线的斜率恒大于零

[研讨.欣赏]某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB，现要修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10 km，问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短?并求其最短距离.(不要求作近似计算)

解：在△AOB中，设OA=a，OB=b.

因为AO为正西方向，OB为东北方向，所以∠AOB=135°.

又O到AB的距离为10.

∴

设∠OAB=α，则∠OBA=45°－α.

所以a=，b=，

ab=·

=

=

=≥，

当且仅当α=22°30′ 时，“=”成立.

所以|AB|²≥=400(+1)²，

当且仅当a=b，α=22°30′时，“=”成立.

所以当a=b==10时，即当AB分别在OA、OB上离O点10 km处，能使|AB|最短，最短距离为20(－1).

法二;

…

法三:|AB|²=a²+b²－2abcos135°=a²+b²+ab≥2ab+ab=(2+)ab，…

◆温馨提示:1.若直接建立|AB|²与角α的函数关系,求最值值困难;

2.先视|AB|²为a,b的函数放缩,再把ab看成α的函数求出最小值;

4.作CE⊥平面ABD于E，则∠CDE=40°,延长DE交直线AB于F，则∠CFD是遮阳棚与地面所成的角，在△CFD中，=.∴DF=.当α=50°时，DF最大.答案：C;　 5.; 6. 最大值为1+=.