7. 到空间不共面的4个点距离相等的平面的个数是_____。

　 A.　 7　　 B.　 6　　 C.　 5　　　 D.　 4

6.方程(x－x－1)＝1的整数解的个数是_____。

　 A.　 1　　 B.　 3　　 C.　 4　　　 D.　 5

5. 函数f(x)＝ax－2ax+2+b　 (a≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5，最小值2，则a、b的值为_____。

　 A.　 a＝1,b＝0　　　　　 B. a＝1，b＝0或a＝－1,b＝3

　 C.　 a＝－1，b＝3　　　　 D. 以上答案均不正确

4. 设f(x,y)＝0是椭圆方程，f(x,y)＝0是直线方程，则方程f(x,y)+λf(x,y)＝0　 (λ∈R)表示的曲线是_____。

　 A.只能是椭圆　　 B.椭圆或直线　　 C.椭圆或一点　　 D.还有上述外的其它情况

3.　 f(x)＝(a－x)|3a－x|，a是正常数，下列结论正确的是_____。

A.当x＝2a时有最小值0　　　　　 B.当x＝3a时有最大值0

C.无最大值，且无最小值　　　　 D.有最小值但无最大值

2.　 非零实数a、b、c，则+++的值组成的集合是_____。

A. {-4,4}　　 B. {0,4}　　 C. {-4,0}　　　 D. {-4,0,4}

1.　 若log<1，则a的取值范围是_____。

A. (0, )　　 B. (,1)　　 C. (0, )∪(1,+∞)　　 D. (,+∞)

7.过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。

A. 3x－2y＝0　　 B. x+y－5＝0　　 C. 3x－2y＝0或x+y－5＝0　　 D.不能确定

[简解]1小题：对参数a分a>0、a＝0、a<0三种情况讨论，选B；

2小题：对底数a分a>1、0<a<1两种情况讨论，选C；

3小题：分x在第一、二、三、四象限等四种情况，答案{4,-2,0}；

4小题：分θ＝、0<θ<、<θ<三种情况，选D；

5小题：分x>0、x<0两种情况，选B；

6小题：分侧面矩形长、宽分别为2和4、或4和2两种情况，选D；

7小题：分截距等于零、不等于零两种情况，选C。

Ⅱ、示范性题组：

例1. 设0<x<1，a>0且a≠1，比较|log(1－x)|与|log(1+x)|的大小。

[分析] 比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数a分两类情况进行讨论。

[解] ∵ 0<x<1　　 ∴　 0<1－x<1 ,　　 1+x>1

①　 当0<a<1时，log(1－x)>0，log(1+x)<0，所以 |log(1－x)|－|log(1+x)|＝log(1－x)－[－log(1+x)]＝log(1－x)>0;

②　 当a>1时，log(1－x)<0，log(1+x)>0，所以 |log(1－x)|－|log(1+x)|＝－log(1－x) －log(1+x)＝－log(1－x)>0；

由①、②可知，|log(1－x)|>|log(1+x)|。

[注]本题要求对对数函数y＝logx的单调性的两种情况十分熟悉，即当a>1时其是增函数，当0<a<1时其是减函数。去绝对值时要判别符号，用到了函数的单调性；最后差值的符号判断，也用到函数的单调性。

例2. 已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：　 ①. CA∪B且C中含有3个元素；　 ②. C∩A≠φ　 。

[分析] 由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类：①属于A 元素；②不属于A而属于B的元素。并由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。

[解]　 C·C+C·C+C·C＝1084

[注]本题是排列组合中“包含与排除”的基本问题，正确地解题的前提是合理科学的分类，达到分类完整及每类互斥的要求，还有一个关键是要确定C中元素如何取法。另一种解题思路是直接使用“排除法”，即C－C＝1084。

例3. 设{a}是由正数组成的等比数列，S是前n项和。　 ①. 证明：　 <lgS；　　　 ②.是否存在常数c>0，使得＝lg(S－c)成立？并证明结论。(95年全国理)

[分析] 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。其中在应用等比数列前n项和的公式时，由于公式的要求，分q＝1和q≠1两种情况。

[解] 设{a}的公比q，则a>0，q>0

①．当q＝1时，S＝na，从而SS－S＝na(n+2)a－(n+1)a＝－a<0；

　 当q≠1时，S＝，从而

SS－S＝－＝－aq<0；

由上可得SS<S，所以lg(SS)<lg(S)，即<lgS。

②. 要使＝lg(S－c)成立，则必有(S－c)(S－c)＝(S－c),

分两种情况讨论如下：

当q＝1时，S＝na，则

(S－c)(S－c)－(S－c)＝(na－c)[(n+2)a－c]－[(n+1)a－c]＝－a<0

当q≠1时，S＝，则(S－c)(S－c)－(S－c)＝[－c][ －c]－[－c]＝－aq[a－c(1－q)]

∵　 aq≠0　　 ∴　 a－c(1－q)＝0即c＝

而S－c＝S－＝－<0　　　 ∴对数式无意义

由上综述，不存在常数c>0, 使得＝lg(S－c)成立。

[注] 本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。该题文科考生改问题为：证明>logS ，和理科第一问类似，只是所利用的是底数是0.5时，对数函数为单调递减。

例1、例2、例3属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的问题或者分类给出的，我们解决时按要求进行分类，即题型为概念、性质型。

例4. 设函数f(x)＝ax－2x+2，对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，求实数a的取值范围。

1　　 4　　　 x 　　　 1　　 4　　 x

[分析] 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后综合得解。

[解]当a>0时，f(x)＝a(x－)+2－

∴ 或

或

∴ a≥1或<a<1或φ　　　　 即 a>；

当a<0时，，解得φ；

当a＝0时，f(x)＝－2x+2, f(1)＝0，f(4)＝－6， ∴不合题意

由上而得，实数a的取值范围是a> 。

[注]本题分两级讨论，先对决定开口方向的二次项系数a分a>0、a<0、a＝0三种情况，再每种情况结合二次函数的图像，在a>0时将对称轴与闭区间的关系分三种，即在闭区间左边、右边、中间。本题的解答，关键是分析符合条件的二次函数的图像，也可以看成是“数形结合法”的运用。

例5. 解不等式>0　 (a为常数，a≠－)

[分析] 含参数的不等式，参数a决定了2a+1的符号和两根－4a、6a的大小，故对参数a分四种情况a>0、a＝0、－<a<0、a<－分别加以讨论。

[解] 2a+1>0时，a>－；　　 －4a<6a时，a>0 。　 所以分以下四种情况讨论：

当a>0时，(x+4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x>6a；

当a＝0时，x>0，解得：x≠0；

当－<a<0时，(x+4a)(x－6a)>0，解得: x<6a或x>－4a；

当a>－时，(x+4a)(x－6a)<0，解得： 6a<x<－4a 。

综上所述，当a>0时，x<－4a或x>6a；当a＝0时，x≠0；当－<a<0时，x<6a或x>－4a；当a>－时，6a<x<－4a 。

[注] 本题的关键是确定对参数a分四种情况进行讨论，做到不重不漏。一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论，此种题型为含参型。

例6. 设a≥0,在复数集C中，解方程：z+2|z|＝a 。　 (90年全国高考)

[分析]由已知z+2|z|＝a和|z|∈R可以得到z∈R，即对z分实数、纯虚数两种情况进行讨论求解。

[解] ∵ |z|∈R，由z+2|z|＝a得：z∈R；　 ∴ z为实数或纯虚数

当z∈R时，|z|+2|z|＝a,解得：|z|＝－1+　　 ∴ z＝±(－1+)；

当z为纯虚数时，设z＝±yi　 (y>0)，　 ∴ －y+2y＝a　 解得：y＝1±　 (0≤a≤1)

由上可得，z＝±(－1+)或±(1±)i

[注]本题用标准解法(设z＝x+yi再代入原式得到一个方程组，再解方程组)过程十分繁难，而挖掘隐含，对z分两类讨论则简化了数学问题。

[另解] 设z＝x+yi，代入得 x－y+2+2xyi＝a；

∴

当y＝0时，x+2|x|＝a，解得x＝±(－1+)，所以z＝±(－1+)；

当x＝0时，－y+2|y|＝a，解得y＝±(1±)，所以±(1±)i。

由上可得，z＝±(－1+)或±(1±)i

[注]此题属于复数问题的标准解法，即设代数形式求解。其中抓住2xy＝0而分x＝0和y＝0两种情况进行讨论求解。实际上，每种情况中绝对值方程的求解，也渗透了分类讨论思想。

例7. 在xoy平面上给定曲线y＝2x，设点A(a,0)，a∈R，曲线上的点到点A的距离的最小值为f(a)，求f(a)的函数表达式。　　 (本题难度0.40)

[分析] 求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，转化为二次函数在约束条件x≥0下的最小值问题，而引起对参数a的取值讨论。

[解] 设M(x,y)为曲线y＝2x上任意一点，则

|MA|＝(x－a)+y＝(x－a)+2x＝x－2(a－1)x+a＝[x－(a－1)]+(2a－1)

由于y＝2x限定x≥0，所以分以下情况讨论：

当a－1≥0时，x＝a－1取最小值，即|MA}＝2a－1；

当a－1<0时，x＝0取最小值，即|MA}＝a；

综上所述，有f(a)＝　 　。

[注]本题解题的基本思路是先建立目标函数。求二次函数的最大值和最小值问题我们十分熟悉，但含参数a，以及还有隐含条件x≥0的限制，所以要从中找出正确的分类标准，从而得到d＝f(a)的函数表达式。

Ⅲ、巩固性题组：

6.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为_____。

A.　 　　　B.　 　　　　C. 　　　　D. 或

5.函数y＝x+的值域是_____。

A.　 [2,+∞)　　　 B. (-∞,-2]∪[2,+∞)　　 C. (-∞,+∞)　　 D. [-2,2]