5．在△ABC中，已知＝，判定△ABC是什么三角形。

※§8.3空间向量及其运算　 　　

4．在△ABC中，已知B＝30°，b＝50，c＝150，解三角形并判断三角形的形状。　　　　　　　　　　 　　　　　　

3．某人在C点测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到0，测得塔顶A仰角为30°，则塔高＝　　　　　。

2.△ABC中，若边a：b：c＝：(1+)：2，则内角A＝　　　　　 。

1．已知锐角三角形的边长分别为2，3，x，则第三边x的取值范围是(　 )

A．1＜x＜5　　B．＜x＜　 C．＜x＜5　 　 D．1＜x＜

2．由于本节内容与代数、几何联系比较紧，故读者需对解斜三角形、解析几何中的圆锥曲线等知识非常熟悉方可。

三　 经典例题导讲

[例1]在ABC中，已知a²＝b²+bc+c²，则角A为(　)

A． 　　B．　C．　　D．或

错解：选A

错因：公式记不牢，误将余弦定理中的“减”记作“加”。

正解：∵a²＝b²+bc+c²＝b²+c²－2bc(－)＝b²+c²－2bc·cos

　∴∠A＝

　选　C.

[例2]在△ABC中，已知，试判别其形状。

错解：等腰三角形。

错因：忽视了两角互补，正弦值也相等的情形。直接由得，，即，则。接着下结论，所求三角形为等腰三角形

正解：由得，，即

　　　 则或，故三角形为直角三角形或等腰三角形。

[例3]过抛物线:y²=2px(p>0)顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB(如图),求证:直线AB过一定点,并求出这一定点.

分析: 对于向量a=(x₁,y₁),b=(x₂,y₂),有a//bx₁y₂-x₂y₁=0.可以用来处理解析几何中的三点共线与两直线平行问题.

证明:由题意知可设A点坐标为(,t₁),B点坐标为(,t₂)　

∴=(,t₁), =(,t₂),

∵OA⊥OB,∴•=0•+t₁•t₂=0

t₁•t₂=-4p² ①

设直线AB过点M(a,b),则=(a-,b-t₂),=(-,t₁-t₂),

由于向量与是共线向量,∴(a-)(t₁-t₂)= (b-t₂)(-)

化简得2p(a-2p)=b(t₁+t₂)

　显然当a=2p,b=0时等式对任意的成立

∴直线AB过定点,且定点坐标为M(2p,0)

四　 典型习题导练

1．初中学过的勾股定理只是余弦定理的一种特殊情况。如当=时，=0，此时有；

2.正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即　　　　　　　　　　

1.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍,即

[例1] 和= (3,－4)平行的单位向量是_________；

错解：因为的模等于5，所以与平行的单位向量就是，即 (，－)

错因：在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。

正解：因为的模等于5，所以与平行的单位向量是，即(，－)或(－，)

点评：平行的情况有方向相同和方向相反两种。读者可以自己再求解“和= (3,－4)垂直的单位向量”，结果也应该是两个。

[例2]已知A(2，1)，B(3，2)，C(-1，4)，若A、B、C是平行四边形的三个顶点，求第四个顶点D的坐标。

错解：设D的坐标为(x，y)，则有x-2=-1-3，y-1=4-2 ，即x=-2，y=3。故所求D的坐标为(-2，3)。

错因：思维定势。习惯上，我们认为平行四边形的四个顶点是按照ABCD的顺序。其实，在这个题目中，根本就没有指出四边形ABCD。因此，还需要分类讨论。

正解：设D的坐标为(x，y)

当四边形为平行四边形ABCD时，有x-2=-1-3，y-1= 4-2 ，即x= -2，y= 3。解得D的坐标为(-2，3)；

当四边形为平行四边形ADBC时，有x-2=3-(-1)，y-1= 2-4 ，即x= 6，y= -1。解得D的坐标为(6，-1)；

当四边形为平行四边形ABDC时，有x-3=-1-2，y-2= 4-1 ，即x= 0，y= 5。解得D的坐标为(0，5)。

故第四个顶点D的坐标为(-2，3)或(6，-1)或(0，5)。

[例3]已知P₁(3,2)，P₂(8，3)，若点P在直线P₁P₂上，且满足|P₁P|=2|PP₂|，求点P的坐标。

错解：由|P₁P|=2|PP₂|得，点P 分P₁P₂所成的比为2，代入定比分点坐标公式得P()

错因：对于|P₁P|=2|PP₂|这个等式，它所包含的不仅是点P为 P₁，P₂ 的内分点这一种情况，还有点P是 P₁，P₂的外分点。故须分情况讨论。

正解：当点P为 P₁，P₂ 的内分点时，P 分P₁P₂所成的比为2，此时解得P()；

　　　 当点P为 P₁，P₂ 的外分点时，P 分P₁P₂所成的比为-2，此时解得P(13，4)。

　　　 则所求点P的坐标为()或(13，4)。

点评：在运用定比分点坐标公式时，要审清题意，注意内外分点的情况。也就是分类讨论的数学思想。

[例4] 设向量 ，，，则“”是“”的

　 A.充分不必要条件　　　　　　　　 B.必要不充分条件

　 C.充要条件　　　　　　　　　　　 D.既不充分也不必要条件

分析：根据向量的坐标运算和充要条件的意义进行演算即可．

解：若，∵，则，代入坐标得：，即且 _．消去，得；

反之，若，则且，即

　 则，∴

　 故“”是“ ”的充要条件．

答案：C

点评：本题意在巩固向量平行的坐标表示．

[例5]．已知=(1，-1)，=(-1，3)，=(3，5)，求实数x、y，使=x +y ．

分析：根据向量坐标运算和待定系数法，用方程思想求解即可．

解：由题意有

　　 x +y =x(1，-1)+y(-1，3)=(x-y，-x+3y)．

　　 又 =(3，5)

　　 ∴x-y=3且-x+3y=5

　　 解之得 x=7 且y=4

点评：在向量的坐标运算中经常要用到解方程的方法．

[例6]已知A(-1，2)，B(2，8)，= ，= -，求点C、D和向量的坐标．

分析：待定系数法设定点C、D的坐标，再根据向量 ， 和 关系进行坐标运算，用方程思想解之．

　解：设C、D的坐标为、，由题意得

　=()，=(3，6)，　=()，=(-3，-6)

　 又= ，= -

　 ∴()=(3，6)， ()=-(-3，-6)

　 即 ()=(1,2) ， ()=(1,2)

　 ∴且，且

　 ∴ 且 ，且

　 ∴点C、D和向量 的坐标分别为(0，4)、(-2，0)和(-2，-4)

小结：本题涉及到方程思想，对学生运算能力要求较高．

§8.2平面向量与代数、几何的综合应用