1.函数y=中自变量x的取值范围是(　 ).

　　 A.x≠-1　　 B.x>-1　　 C.x≠1　　 D.x≠0

求的近似值，使误差小于．

解：，

展开式中第三项为，小于，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，∴，

一般地当较小时

2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法 　

(1)的展开式中二项式系数的和为　　　 ，各项系数的和为　　　 　，二项式系数最大的项为第　　　 　项；

(2)的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为　　 ．

(3)+++，则(　　 )

A．　　 　B.　　　 C.　 D.

(4)已知：，

求：的值

答案：(1)，，；

(2)展开式中只有第六项的二项式系数最大，

∴ ， ；

(3)A．

例1．在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和

证明：在展开式中，令，则，

即，

∴，

即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．

说明：由性质(3)及例1知.

例2．已知，求：

(1)；　 (2)；　 (3).

解：(1)当时，，展开式右边为

∴，

当时，，∴，

(2)令， 　　　①　

令，　　 ②

①② 得：，∴ .

(3)由展开式知：均为负，均为正，

∴由(2)中①+② 得：，

∴ ，

∴

例3.求(1+x)+(1+x)²+…+(1+x)¹⁰展开式中x³的系数

解：

=，

∴原式中实为这分子中的，则所求系数为

例4.在(x²+3x+2)⁵的展开式中，求x的系数

解：∵

∴在(x+1)⁵展开式中，常数项为1，含x的项为，

在(2+x)⁵展开式中，常数项为2⁵=32，含x的项为　

∴展开式中含x的项为 ，

∴此展开式中x的系数为240

例5.已知的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项

解：依题意

　 ∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10

设第r+1项为常数项，又

令，

此所求常数项为180

1二项式系数表(杨辉三角)

展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和

2．二项式系数的性质：

展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数

定义域是，例当时，其图象是个孤立的点(如图)

(1)对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(∵)．

直线是图象的对称轴．

(2)增减性与最大值．∵，

∴相对于的增减情况由决定，，

当时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；

当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值．

(3)各二项式系数和：

∵，

令，则

3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 　

2．二项展开式的通项公式： 　

1．二项式定理及其特例：

(1)，

(2).