13．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？

(1)只有一名女生；

(2)两队长当选；

(3)至少有一名队长当选；

(4)至多有两名女生当选.

分析：解组合问题常从特殊元素入手．

解：(1)一名女生，四名男生，故共有C·C＝350(种)．

(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，

故共有C·C＝165(种)．

(3)至少有一名队长含有两类：有一名队长和两名队长．

故共有：C·C+C·C＝825(种)．

或采用间接法：C－C＝825(种)．

(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生．

故选法为C·C+C·C+C＝966(种)．

12．4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．

(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？

(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？

(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？

分析：把不放球的盒子先拿走，再放球到余下的盒子中并且不空．

解：(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步计数原理，共有CCC×A＝144种．

(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．

(3)确定2个空盒有C种方法．

4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有CCA种方法；第二类有序均匀分组有·A种方法．

故共有C(CCA+·A)＝84种．

11．(2008·武汉二调)从4双不同鞋子中取出4只鞋，其中至少有2只鞋配成一双的取法种数为________．(将计算的结果用数字作答)

答案：54

解析：依题意，分以下两类，第一类从4双中选2双有C＝6种，第二类，第一步从4双中选1双有C种，第二步从剩余的3双中选2双，每双中选1只有C×2×2种，共有CC×2×2＝48种，共48+6＝54种．

10．安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有__________种．(用数字作答)

答案：2400

解析：由甲、乙两人都不安排在1日和2日，则只能安排在3日到7日这五天中，则有CA，其余5人均没限制，则有A；故这样的不同安排方法共有CAA＝2400种．

9．(2008·浙江)用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻．这样的六位数的个数是________(用数字作答)．

答案：40

解析：由题意得，奇数位上全为奇数或全为偶数．若全为奇数，方法有AA+CACA＝20.若全为偶数，方法有AA+CACA＝20.故共有20+20＝40(种)．

8．(2009·江西重点中学联考)将4个相同的红球和4个相同的蓝球排成一排，从左到右每个球依次对应序号为1,2，…，8，若同色球之间不加区分，则4个红球对应序号之和小于4个蓝球对应序号之和的排列方法种数为(　)

A．31　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．27

C．54　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．62

答案：A

解析：用●代表红球，○代表蓝球，则8个球不同的排列方法共有C=70种，其中红球对应序号不小于蓝球与蓝球对应序号不小于红球排列方法种数相同，如图所示的4种排列红蓝球的对应序号之和相等(将红蓝球相互交换位置同样可得另4种排列)，故4个红球序号之和小于4个蓝球序号之和的排列方法种数为35-4=31，故应选A.

7．(2009·武汉5月)三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同校的任两名学生不能相邻，那么不同的排法有(　)

A．36种　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．72种

C．108种 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．120种

答案：D

解析：解答本题的关键是正确的分类和分步；据题意可先让同校的3名学生排列，然后同校的2名学生的站法可以是：□×□××，××□×□，□××□×，×□××□，最后让只有一个获奖的学校的那名学生去站此时只有一种方法，此时共有4AA种不同的排法；若先让同校的3名学生排列，然后同校的2名学生的站法是×□×□×，则只有一个获奖的学校的那名学生可以去任意排，其有6种站法，故此时有6AA种不同的站法，综上共有4AA+6AA＝120种不同的站法．故选D.

6．(2009·东北三校模拟)某教师一个上午有3个班级的课，每班一节．如果上午只能排四节课，并且教师不能连上三节课，那么这位教师上午的课表的所有排法为(　)

A．2　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．4

C．12　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．24

答案：C

解析：本题属于部分元素不相邻问题，可采用插空法解答．先把教师上的三节课进行排列，然后将不上的一节课排在三节课形成的2个空中的一个空中即可，故共有AC＝12种课程表的排法．

5．(2006·南通)4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得21分，答错得－21分；选乙题答对得7分，答错得－7分．若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是(　)

A．48　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．44

C．36　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．24

答案：B

解析：4位同学的总分为0，分以下几种情形：(1)4位同学都选甲题，其中二人答对二人答错，则这4位同学不同得分情况的种数为把这4位同学平均分成2组的种数有C种；(2)4位同学都选乙题，其中二人答对二人答错，同(1)的情况也有C种；(3)4位同学中有一位同学选甲题并且答对，其余3位同学选乙题并且答错有CC种；(4)4位同学中有一位同学选甲题答错，其余3位同学选乙题并且答对有CC种；(5)4位同学中有2位同学选甲题一人答对另一人答错，其余2位同学选乙题一人答对另一人答错，共有A·A种，由分类计数原理，共有2C+2CC+AA＝44种，故选B.

4．已知直线+＝1(a，b是非零常数)与圆x²+y²＝100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有(　)

A．60条　　　　　　　　　　　　　　 B．66条

C．72条　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．78条

答案：A

解析：在第一象限内圆x²+y²＝100上的整数点只有(6,8)，(8,6)，而点(±10,0)，(0，±10)在圆上，

∴圆x²+y²＝100上横、纵坐标的为整数的点共12个点．

过这12个点的圆x²+y²＝100的切线和割线共12+C＝78，而不合题意的过原点、斜率为0、斜率不存在的各6条．

∴共有78－3×6＝60条，故选A.

评析：考查排列组合的基础知识及分类讨论的思想.