2．作函数的图象时，首先要确定函数的定义域。

1．数形结合是数学中重要的思想方法，在中学阶段，对各类函数的研究都离不开图象，很多函数的性质都是通过观察图象而得到的。

题型1：三角函数的图象

例1．(2000全国，5)函数y＝－xcosx的部分图象是(　　 )

解析：因为函数y＝－xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当x∈(0，)时，y＝－xcosx＜0。答案为D。

例2．(2002上海，15)函数y=x+sin|x|，x∈［－π，π］的大致图象是(　　 )

解析：由奇偶性定义可知函数y=x+sin|x|，x∈［－π，π］为非奇非偶函数。选项A、D为奇函数，B为偶函数，C为非奇非偶函数。

点评：利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。

题型2：三角函数图象的变换

例3．试述如何由y=sin(2x+)的图象得到y=sinx的图象。

解析：y=sin(2x+)

另法答案：

(1)先将y=sin(2x+)的图象向右平移个单位，得y=sin2x的图象；

(2)再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变)，得y=sinx的图象；

(3)再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变)，即可得到y=sinx的图象。

例4．(2003上海春，15)把曲线ycosx+2y－1=0先沿x轴向右平移个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是(　　 )

A．(1－y)sinx+2y－3=0　 　　　　　　　　　　 B．(y－1)sinx+2y－3=0

C．(y+1)sinx+2y+1=0　 　　　　　　　　　　　 D．－(y+1)sinx+2y+1=0

解析：将原方程整理为：y=，因为要将原曲线向右、向下分别移动个单位和1个单位，因此可得y=－1为所求方程.整理得(y+1)sinx+2y+1=0.

点评：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。如果对平移有深刻理解，可直接化为：(y+1)cos(x－)+2(y+1)－1=0，即得C选项。

题型3：三角函数图象的应用

例5．已知电流I与时间t的关系式为。

(1)右图是(ω＞0，)

在一个周期内的图象，根据图中数据求

的解析式；

(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？

　解析:本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力．

(1)由图可知 A＝300。

设t₁＝－，t₂＝，

则周期T＝2(t₂－t₁)＝2(+)＝。

∴ ω＝＝150π。

又当t＝时，I＝0，即sin(150π·+)＝0，

而， ∴ ＝。

故所求的解析式为。

(2)依题意，周期T≤，即≤，(ω>0)

∴ ω≥300π＞942，又ω∈N^*，

故最小正整数ω＝943。

点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言．其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径。

例6．(1)(2003上海春，18)已知函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0，ω>0，x∈R)在一个周期内的图象如图所示，求直线y=与函数f(x)图象的所有交点的坐标。

解析：根据图象得A=2，T=π－(－)=4π，

∴ω=，∴y=2sin(+)，

又由图象可得相位移为－，∴－=－，∴=.即y=2sin(x+)。

根据条件=2sin()，∴=2kπ+(k∈Z)或=2kπ+π(k∈Z)，

∴x=4kπ+(k∈Z)或x=4kπ+π(k∈Z)。

∴所有交点坐标为(4kπ+)或(4kπ+)(k∈Z)。

点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。

(2)(2002全国文5，理4)在(0，2π)内，使sinx＞cosx成立的x取值范围为(　　 )

A．(，)∪(π，)　　　　 B．(，π)

C．(，)　　　　　　　　　　 D．(，π)∪(，)

解析：C；

解法一：作出在(0，2π)区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标和，由图1可得C答案。

图1　　　　　　　　　　　 图2

解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C。(如图2)

题型4：三角函数的定义域、值域

例7．(1)已知f(x)的定义域为［0，1］，求f(cosx)的定义域；

(2)求函数y=lgsin(cosx)的定义域；

分析：求函数的定义域：(1)要使0≤cosx≤1，(2)要使sin(cosx)＞0，这里的cosx以它的值充当角。

解析：(1)0≤cosx＜12kπ－≤x≤2kπ+，且x≠2kπ(k∈Z)。

∴所求函数的定义域为{x｜x∈［2kπ－，2kπ+］且x≠2kπ，k∈Z}。

(2)由sin(cosx)＞02kπ＜cosx＜2kπ+π(k∈Z)。

又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1。

故所求定义域为{x｜x∈(2kπ－，2kπ+)，k∈Z}。

点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线。

例8．(2003京春，18)已知函数f(x)=，求f(x)的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域。

解析：由cos2x≠0得2x≠kπ+，解得x≠，k∈Z，所以f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠，k∈Z}，

因为f(x)的定义域关于原点对称，

且f(－x)==f(x)。

所以f(x)是偶函数。

又当x≠(k∈Z)时，

f(x)=。

所以f(x)的值域为{y|－1≤y<或<y≤2}。

点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。

题型5：三角函数的单调性

例9．求下列函数的单调区间：

(1)y=sin(－)；(2)y=－｜sin(x+)｜。

分析：(1)要将原函数化为y=－sin(x－)再求之。

(2)可画出y=－|sin(x+)|的图象。

解：(1)y=sin(－)=－sin(－)。

故由2kπ－≤－≤2kπ+。

3kπ－≤x≤3kπ+(k∈Z)，为单调减区间；

由2kπ+≤－≤2kπ+。

3kπ+≤x≤3kπ+(k∈Z)，为单调增区间。

∴递减区间为［3kπ－，3kπ+］，

递增区间为［3kπ+，3kπ+］(k∈Z)。

(2)y=－|sin(x+)|的图象的增区间为［kπ+，kπ+］，减区间为［kπ－，kπ+］。

例10．(2002京皖春文，9)函数y=2^sinx的单调增区间是(　　 )

A．［2kπ－，2kπ+］(k∈Z)

B．［2kπ+，2kπ+］(k∈Z)

C．［2kπ－π，2kπ］(k∈Z)

D．［2kπ，2kπ+π］(k∈Z)

解析：A；函数y=2^x为增函数，因此求函数y=2^sinx的单调增区间即求函数y=sinx的单调增区间。

题型6：三角函数的奇偶性

例11．判断下面函数的奇偶性：f(x)=lg(sinx+)。

分析：判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称，然后再看f(x)与f(－x)的关系。

解析：定义域为R，又f(x)+f(－x)=lg1=0，

即f(－x)=－f(x)，∴f(x)为奇函数。

点评：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要(但不充分)条件。

例12．(2001上海春)关于x的函数f(x)=sin(x+)有以下命题：

①对任意的，f(x)都是非奇非偶函数；

②不存在，使f(x)既是奇函数，又是偶函数；

③存在，使f(x)是奇函数；

④对任意的，f(x)都不是偶函数。

其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时，该命题的结论不成立。

答案：①，kπ(k∈Z)；或者①，+kπ(k∈Z)；或者④，+kπ(k∈Z)

解析：当=2kπ，k∈Z时，f(x)=sinx是奇函数。当=2(k+1)π，k∈Z时f(x)=－sinx仍是奇函数。当=2kπ+，k∈Z时，f(x)=cosx，或当=2kπ－，k∈Z时，f(x)=－cosx，f(x)都是偶函数.所以②和③都是正确的。无论为何值都不能使f(x)恒等于零。所以f(x)不能既是奇函数又是偶函数。①和④都是假命题。

点评：本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力，注意k∈Z不能不写，否则不给分，本题的答案不惟一，两个空全答对才能得分。

题型7：三角函数的周期性

例13．求函数y=sin⁶x+cos⁶x的最小正周期，并求x为何值时，y有最大值。

分析：将原函数化成y=Asin(ωx+)+B的形式，即可求解。

解析：y=sin⁶x+cos⁶x=(sin²x+cos²x)(sin⁴x－sin²xcos²x+cos⁴x)

=1－3sin²xcos²x=1－sin²2x=cos4x+。

∴T=。

当cos4x=1，即x=(k∈Z)时，y_max=1。

例14．设的周期，最大值，

(1)求、、的值；

(2)。

解析：(1) ， ， ，

又 的最大值。

， 　①　 ，且 ②，

由 ①、②解出　 a=2 ,　 b=3.

(2) ， ，

　，　

，　 或　 ，　

即　 　( 共线，故舍去) ，　 或　 ，

　 。

点评：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性。

题型8：三角函数的最值

例15．(2003京春文，2)设M和m分别表示函数y=cosx－1的最大值和最小值，则M+m等于(　　 )

A．　　　　　　　 B．－　　　　　 　C．－　　　　　　　 D．－2

解析：D；因为函数g(x)=cosx的最大值、最小值分别为1和－1。所以y=cosx－1的最大值、最小值为－和－。因此M+m=－2。

例16．(2000京、皖春理，10)函数y＝的最大值是(　　 )

A．－1　　 　　　　　 B．+1 　　　　　　　 C．1－　　 　　　　　 D．－1－

解析：B；。

9．五点法作y=Asin(ωx+)的简图：

五点取法是设x=ωx+，由x取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。

8．求三角函数的周期的常用方法：

经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。

7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；

6．对称轴与对称中心：

的对称轴为，对称中心为；

的对称轴为，对称中心为；

对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。

5．由y＝Asin(ωx+)的图象求其函数式：

给出图象确定解析式y=Asin(ωx+)的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点(－，0)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。

4．由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx+)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)

先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx+)的图象。

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx+)的图象。

3．函数

最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。