(一)思想方法总结

1. 数形结合

2. 分类讨论

3. 函数与方程

(一) 函数性质法

函数的特征是通过其性质(如奇偶性，单调性周期性，特殊点等)反应出来的，抽象函数也是如此，只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活进行等价转化，抽象函数问题才能转化，化难为易，常用的解题方法有:1，利用奇偶性整体思考;2，利用单调性等价转化;3，利用周期性回归已知4;利用对称性数形结合;5，借助特殊点，布列方程等.

(二 )特殊化方法

1、在求解函数解析式或研究函数性质时，一般用代换的方法，将x换成－x等

2、在求函数值时，可用特殊值代入

3、研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题，填空题，或由具体模型函数对综合题，的解答提供思路和方法.

总之，抽象函数问题求解，用常规方法一般很难凑效，但我们如果能通过对题目的信息分析与研究，采用特殊的方法和手段求解，往往会收到事半功倍之功效，真有些山穷水复疑无路，柳暗花明又一村的快感.

例13、(2008陕西文) 定义在上的函数满足()，，则等于(　　 )

A．2　　　　　　 B．3　　　　　　　 C．6　　　　　　　 D．9

解：令，令；

令得

　　 考点六：函数的综合应用

函数的综合运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题．函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．因此，运动变化、相互联系、相互制约是函数思想的精髓，掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，提高用初等数学思想方法研究函数的能力，树立运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键．

　例14、(2008广东高考试题)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的 平均建筑费用为560+48x(单位：元)。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

(注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=)

[解析]：设楼房每平方米的平均综合费为元，依题意得

则，令，即，解得

当时，；当时，，

因此，当时，取得最小值，元.

答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。

［点评］：这是一题应用题，利用函数与导数的知识来解决问题。利用导数，求函数的单调性、求函数值域或最值是一种常用的方法.

　例15、(2007湖北文科高考试题)某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件. 如果降低价格，销售量可以增加，

且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值(单位：元，)的平方成正比.

已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．

(I)将一个星期的商品销售利润表示成的函数；

(II)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力．

[解析]：(Ⅰ)设商品降价元，则多卖的商品数为，若记商品在一个星期的获利为，

则依题意有，

又由已知条件，，于是有，

所以．

(Ⅱ)根据(Ⅰ)，我们有．

		2		12
		0		0
		极小		极大

故时，达到极大值．因为，，

所以定价为元能使一个星期的商品销售利润最大．

［点评］：本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力．

考点七、函数的零点

例16、(2008山东荷泽模拟题)函数的零点所在的区间是　　 )

　　　 A．　　　　　　　　　 B．(1，10)　　　　　 C．　　　　　　 D．

解：因为f(1)＝0－1＜0，f(10)＝1－＞0，即f(1)•f(10)＜0，

所以函数f(x)在区间(1,10)之间有零点。

［点评］：如果函数f(x)在区间［a，b］上连续，且f(a)•f(b)＜0，则函数f(x)在区间(a，b)上有零点，函数的零点，二分法，函数的应用都是函数的重点内容。

例17、(2007广东高考题)已知a是实数，函数，如果函数在区间[-1，1]上有零点，

求实数a的取值范围。

[解析]当a=0时，函数为f　(x)=2x -3，其零点x=不在区间[-1，1]上。

当a≠0时，函数f　(x) 在区间[-1，1]分为两种情况：

①函数在区间[─1，1]上只有一个零点，此时

或

解得1≤a≤5或a=　　　　　　　　　　　　

②函数在区间[─1，1]上有两个零点，此时

　 　　　　或

解得a5或a<

综上所述，如果函数在区间[─1，1]上有零点，那么实数a的取值范围为

(-∞,　　　　 ]∪[1, +∞)

考点一：函数的性质与图象

函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫．

复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是：

1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性．

2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法．

3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．

函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。

因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是“数形结合思想”的体现。复习函数图像要注意以下方面。

1．掌握描绘函数图象的两种基本方法--描点法和图象变换法．

2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题．

3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题．

4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力．

例1、(2008广东汕头二模)设集合A={x|x<-1或x>1}，B={x|log₂x>0}，则A∩B=(　 )　　　

　A．{x| x>1}　　　　　　 B．{x|x>0}　　　　　　 C．{x|x<-1}　　 D．{x|x<-1或x>1}

[解析]:由集合B得x>1 ,\ A∩B={x| x>1}，故选(A) 。

［点评］本题主要考查对数函数图象的性质，是函数与集合结合的试题，难度不大，属基础题。

例2、(2008广东惠州一模) “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S₁、S₂分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是 (　　 )

[解析]：选(B)，在(B)中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短。

［点评］函数图象是近年高考的热点的试题，考查函数图象的实际应用，考查学生解决问题、分析问题的能力，在复习时应引起重视。

例3、(2008年广东惠州一模)设 ，又记

则 (　　 )

A．；　　　　　 B．；　　　　 C．；　　　　　 D．；

[解析]:本题考查周期函数的运算。，

，据此，，，因为型，故选.

［点评］本题考查复合函数的求法，以及是函数周期性，考查学生观察问题的能力，通过观察，关于总结、归纳，要有从特殊到一般的思想。

例4、(2008福建文科高考试题)函数，若,则的值为　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　 )

A.3　　　　　　　　 B.0　　　　　 C.-1　　　　 D.-2

[解析]：为奇函数，又

故即.

［点评］本题考查函数的奇偶性，考查学生观察问题的能力，通过观察能够发现如何通过变换式子与学过的知识相联系，使问题迎刃而解。

例5、(2008广东高考试题)设，函数，

，，试讨论函数的单调性．

[解析]

对于，

当时，函数在上是增函数；

当时，函数在上是减函数，在上是增函数；

对于，

当时，函数在上是减函数；

当时，函数在上是减函数，在上是增函数。

［点评］在处理函数单调性的证明时，可以充分利用基本函数的性质直接处理，但学习了导数后，函数的单调性就经常与函数的导数联系在一起，利用导数的性质来处理函数的单调进性，显得更加简单、方便。

考点二：二次函数

二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 　这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题.　同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了.

学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法.

例6、设二次函数，方程的两个根满足.　 当时，证明.

[解析]：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数的表达式，从而得到函数的表达式.

证明：由题意可知.

，

∴ ，

∴　 当时，.

又，

∴　 ，

综上可知，所给问题获证.

［点评］：本题主要利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式。

例7、(2007湖北文科高考试题)设二次函数，方程的两根和满足．

(I)求实数的取值范围；

(II)试比较与的大小．并说明理由．

[解析]法1：(Ⅰ)令，

则由题意可得．

故所求实数的取值范围是．

(II)，令．

当时，单调增加，

当时，

，即．

法2：(I)同解法1．

(II)，由(I)知，

．又于是

，

即，故．

法3：(I)方程，由韦达定理得

，，于是

．

故所求实数的取值范围是．

(II)依题意可设，则由，得

，故．

［点评］本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力．

考点三：指数函数与对数函数

指数函数,对数函数是两类重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的图象与性质并能进行一定的综合运用.

例8、(2008山东文科高考试题)已知函数的图象如图所示，则满足的关系是(　 )

A．　　　 　　　 B．

C．　　　　　　 D．

[解析]：由图易得取特殊点

　　　 .选A.

［点评］：本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。

例9、(2007全国Ⅰ高考试题)设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则(　)

A．　 　　 B．　　　　　　 　　 C．　　　　　　　 D．

[解析]：设，函数在区间上的最大值与最小值分别为

，它们的差为，　 ∴ ，4，选D。

例10、(2008全国Ⅱ高考试题)若，则(　　 )

A．<<　　　　　　　　 B．<<　　　　 C． <<　　　　　　　 D． <<

[解析]：由，令且取知<<

考点四：反函数

反函数在高考试卷中一般为选择题或填空题，难度不大。通常是求反函数或考察互为反函数的两个函数的性质应用和图象关系。主要利用方法为：

1、　 反函数的概念及求解步骤：①由方程y=¦(x)中解出x=j(y)；即用y的代数式表示x.。②改写字母x和y，得出y=¦^-1(x)；③求出或写出反函数的定义域，(亦即y=¦(x)的值域)。　 即反解Þ互换Þ求定义域

2、　 互为反函数的两个函数的图象之间的关系，

3、　 互为反函数的两个函数性质之间的关系：注意：在定义域内严格单调的函数必有反函数，但存在反函数的函数在定义域内不一定严格单调，如y=。

例11、(2007北京高考试题)函数的反函数的定义域为(　)

A．　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　 D．

[解析]：函数的反函数的定义域为原函数的值域，原函数的值域为，∴ 选B。

［点评］：本题考查互为反函数的两个函数性质之间的关系，即：反函数的定义域为原函数的值域。

例12、(2008湖南高考试题)设函数存在反函数,且函数的图象过点(1,2),则函数的图象一定过点　　　 .

[解析]由函数的图象过点(1,2)得: 即函数过点则其反函数过点所以函数的图象一定过点

［点评］：本题考查互为反函数的两个函数的图象之间的关系以及图象的平移。

考点五：抽象函数

抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数，如函数的定义域，解析递推式，特定点的函数值，特定的运算性质等，它是高中函数部分的难点，也是大学高等数学函数部分的一个衔接点，由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，因此理解研究起来比较困难.但由于此类试题即能考查函数的概念和性质，又能考查学生的思维能力，所以备受命题者的青睐，那么，怎样求解抽象函数问题呢，我们可以利用特殊模型法，函数性质法，特殊化方法，联想类比转化法，等多种方法从多角度，多层面去分析研究抽象函数问题，

7、掌握函数零点的概念，用二分法求函数的近似解，会应用函数知识解决一些实际问题。

6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.

5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质.

4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质.

3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系.

2. 了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程．

1.理解函数的概念，了解映射的概念.