14．(1)求(x²－)⁹的展开式中的常数项；

(2)已知(－)⁹的展开式中x³的系数为，求常数a的值；

(3)求(x²+3x+2)⁵的展开式中含x的项．

解：(1)设第r+1项为常数项，则

T_r+1＝C(x²)^9－r·(－)^r＝(－)^rCx^18－3r

令18－3r＝0，得r＝6，即第7项为常数项．

T₇＝(－)⁶C＝.

∴常数项为.

(2)设第r+1项是含x³的项，则有

C()^9－r(－)^r＝x³，得：x^r－9x＝x³，

故r－9＝3，即r＝8.

∴Ca(－)⁸＝，∴a＝4.

(3)∵(x²+3x+2)⁵＝(x+1)⁵(x+2)⁵，

(x²+3x+2)⁵的展开式中含x的项是(x+1)⁵展开式中的一次项与(x+2)⁵展开式中的常数项之积，(x+1)⁵展开式中的常数项与(x+2)⁵展开式中的一次项之积的代数和．

∴含x的项为C·x·C·2⁵+C·1·C·x·2⁴＝240x.

13．已知(+3x²)ⁿ展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.求展开式中系数最大的项．

解：令x＝1，得各项的系数和为(1+3)ⁿ＝4ⁿ，

而各项的二项式系数和为：

C+C+…+C＝2ⁿ，∴4ⁿ＝2ⁿ+992.

∴(2ⁿ－32)(2ⁿ+31)＝0

∴2ⁿ＝32或2ⁿ＝－31(舍去)，∴n＝5

设第r+1项的系数最大，则

即

∴≤r≤，又r∈Z，∴r＝4，

∴系数最大的项是T₅＝Cx(3x²)⁴＝405x.

12．已知ⁿ(n∈N^*)的展开式中第5项的系数与第3项的系数之比为10∶1.求展开式中系数最大的是第几项？

解：依题意，第5项的系数为C·2⁴，

第3项的系数为C·2²，则有

＝，解得n＝8.

设展开式中第r+1项的系数最大，则

解得5≤r≤6.

∴第6项和第7项的系数相等且最大，

即最大为56×2⁵＝7×2⁸＝1792.

11．(2008·广东)已知(1+kx²)⁶(k是正整数)的展开式中，x⁸的系数小于120，则k＝________.

答案：1

解析：∵x⁸的系数为Ck⁴，由Ck⁴<120得k⁴<8，而k∈N₊，∴k＝1.故填1.

10．(2009·湖南卷)在(1+x)³+(1+)³+(1+)³的展开式中，x的系数为________(用数字作答)．

答案：7

解析：C+C+C＝2³－1＝7.

9．(2009·全国卷Ⅱ)(x－y)⁴的展开式中x³y³的系数为________．

答案：6

解析：T_r+1＝C(x)^4－r(－y)^r＝Cx4－y2+·(－1)^r，T_r+1中含x³y³，需4－＝3,2+＝3，此时r＝2，

∴x³y³的系数为C(－1)²＝6.

8．(2008·吉林实验中学)若(1+2x)ⁿ展开式中x³的系数等于x²的系数的4倍，则n等于(　)

A．7　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．8

C．9　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．10

答案：B

解析：x³、x²的系数分别为C·2³＝8C，C·2²＝4C，由题意得8C＝4×4C，解得n＝8，故选B.

7．(2008·天津六区联考)设(5x－x)ⁿ的展开式的各项系数之和为M，而二项式系数之和为N，且M－N＝992.则展开式中x²项的系数为(　)

A．250　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．－250

C．150　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．－150

答案：B

解析：令x＝1得M＝(5－1)ⁿ＝4ⁿ，N＝2ⁿ，M－N＝4ⁿ－2ⁿ＝992,2ⁿ(2ⁿ－1)＝992，n＝5，T_r+1＝C(5x)^5－r(－x)^r＝(－1)^r5^5－rCx－，令－＝2，r＝3，则所求系数为(－1)³5^5－3C＝－250，故选B.

6．(2008·全国联考)已知(xlog₂x+1)ⁿ展开式中有连续三项的系数之比为1∶2∶3，且展开式的倒数第二项为28，则x的值为(　)

A．2　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C．－2　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.或2

答案：D

解析：(xlog₂x+1)ⁿ展开式中有连续三项的系数为C，C，C，且C∶C∶C＝1∶2∶3，＝，＝，解得n＝14，由题意得Cxlog₂x＝28，xlog₂x＝2，(log₂x)²＝1，则x的值为或2.故选D.

5．(2009·成都一测)(x－)⁹的展开式的第3项是(　)

A．－84x³　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．84x³

C．－36x⁵　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．36x⁵

答案：D

解析：依题意得(x－)⁹的展开式的通项T_r+1＝C·x^9－r(－)^r＝C·(－1)^r·x^9－2r，其展开式的第三项是T₃＝C·(－1)²·x⁵＝36x⁵，选D.