4．在光滑的水平面上静止一物体，现以水平恒力甲推此物体，作用一段时间后换成相反方向的水平恒力乙推物体，当恒力乙作用时间与恒力甲的作用时间相同时，物体恰好回到原处，此时物体的速度为υ₂，若撤去恒力甲的瞬间物体的速度为υ₁，则υ₂∶υ₁ = ？

答案：υ₂∶υ₁ = 2∶1

3．如图所示，一小球沿竖直放置的光滑圆环形轨道做圆周运动，圆环的半径为R．关于小球的运动情况，下列说法中正确的是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ( ACD　 )　

　 A．小球的线速度的方向时刻在变化，但总在圆周切线方向上　

　 B．小球的加速度的方向时刻在变化，但总是指向圆心的　

　　　 C．小球的线速度的大小总大于或等于　

　　　 D．小球通过轨道最低点的加速度的大小一定大于g　

2．如图所示，小球沿斜面向上运动，依次经过a、b、c、d到达最高点e，已知ab = bd = 6m，bc = 1m，小球从a到c和从c到d所用的时间都是2s．设小球经b、c时的速度分别为υ_b、υ_c，则( ABD　 )

A．υ_b = m/s　　 　　B．υ_c = 3m/s　

C．de＝5m 　　　　　　　　　　　　 D．从d到e所用时间为4s　

1．(05年开封)小球从空中自由下落，与水平地面相碰后反弹到空中某一高度，其速度-时间图象如图所示，则由图可知　　　　　( ABC )

A．小球下落的最大速度为5m/s　

B．小球第一次反弹初速度的大小为3m/s

C．小球能弹起的最大高度

D．小球能弹起的最大高度1.25m　　　 　　　　　　　　　　　

3．圆周运动的临界问题

分析圆周运动的临界问题时，一般应从与研究对象相联系的物体(如：绳、杆、轨道支持面等)的力学特征着手．分为两种情形：

①没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况．

②球过最高点时，轻质杆对小球产生的弹力情况．

规律方法

[例1]一辆摩托车能达到的最大速度为30m/s，要想在3min内由静止起沿一条平直公路追上在前面1000m处以20m/s的速度匀速行驶的汽车，则摩托车必须以多大的加速度起动？

甲同学的解法是：设摩托车恰好在3min时追上汽车，则at² = υt+s₀，代入数据得：a = 0．28m/s²．

乙同学的解法是：设摩托车追上汽车时，摩托车的速度恰好是30m/s，则υ　 = 2as = 2a(υt+s₀)，代入数据得：　a = 0.1m/s²

你认为他们的解法正确吗？若错误请说明理由，并写出正确的解法．

[解析]甲错，因为摩托车以a = 0．28m/s²加速3min，速度将达到υ_m = at = 0．28×180m/s = 50．4m/s，大于摩托车的最大速度30m/s．

乙错，若摩托车以a = 0.1m/s²加速，速度达到30m/s所需时间为t = = s = 300s，大于题给时间3min正确解答：从上述分析知道，摩托车追上汽车的过程中，先加速到最大速度υ_m，再以此最大速度υ_m追赶汽车．设加速到最大速度υ_m所需的时间为t₀，则以最大速度υ_m追赶的时间为t-t₀．

对摩托车加速段有：υ_m = at₀

由摩托车和汽车运动的位移相等可得：at+υ_m(t-t₀) = υt+s₀

解得：a = 0.56m/s²．

训练题羚羊从静止开始奔跑，经过50m的距离能加速到最大速度25m/s，并能维持一段较长时间．猎豹从静止开始奔跑，经过60m的距离能加速到最大速度30m/s，以后只能维持这一速度4.0s，设猎豹距羚羊xm时开始攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后1．0s才开始奔跑，假定羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑，则

(1)猎豹要在从最大速度减速前追到羚羊，x值应在什么范围内？

(2)猎豹要在其加速阶段追到羚羊，x值应在什么范围内？

答案：(1)x＜55m

　　 (2)x＜31.9m

[例2]如图所示，从倾角为θ的足够长斜面上的A点，先后将同一个小球以不同的初速度水平向右抛出．第一次初速度为υ₁，球落到斜面上时瞬时速度方向与斜面夹角为α₁；第二次初速度为υ₂，球落到斜面上时瞬时速度方向与斜面夹角为α₂．不计空气阻力，若υ₁>υ₂，则α₁　 ＝　 α₂(填>、 = 、<)．　　　

训练题如图所示，从倾角为θ = 30°的斜面顶端以初动能E = 6J向下坡方向平抛出一个小球，则小球落到斜面上时的动能E′为?　　　　　　　 ?J．　　　　

答案：E′=14J

[例3]质量为m的物体沿着半径为R的半球形金属球壳滑到最低点时的速度大小为υ，如图所示，若物体与球壳之间的摩擦因数为μ，则物体在最低点时的　　　( AD )

A．向心加速度为　　　B．向心力为m(g+)

C．对球壳的压力为　　D．受到的摩擦力为μm(g+)　　　　　

训练题质量为m的物体从半径为R的半球形碗的碗口下滑到碗的最低点的过程中，

如果摩擦力的作用使得物体的速度大小不变，如图所示，那么( D　 )

A．因为速率不变，所以物体的加速度为零　　

B．物体下滑过程中受的合外力越来越大　

C．物体下滑过程中的摩擦力大小不变　　　　　　

D．物体下滑过程中的加速度大小不变，方向始终指向球心

能力训练

2．小船过河问题

若用υ₁表示水速，υ₂表示船速，则：

①过河时间仅由υ₂的垂直于岸的分量υ_⊥决定，即t = ，与υ₁无关，所以当υ₂垂直于河岸时，过河所用时间最短，最短时间为t = ，也与υ₁无关．

②过河路程由实际运动轨迹的方向决定，当υ₁＜υ₂时，最短路程为d；当υ₁＞υ₂时，最短路程程为d(如图所示)．

1．竖直上抛运动的处理方法

分段处理法：竖直上抛运动可分为上升过程和下降过程．上升过程是初速为υ₀，末速为υ_t，加速度为重力加速度(方向竖直向下)的匀加速直线运动；下降过程是自由落体运动．

整段处理法：竖直上抛运动是初速为υ₀(方向竖直向上)，加速度为重力加速度(方向竖直向下)的匀减速直线运动，其运动规律是：υ_t = υ₀-gt，h = υ₀t-gt²．

28．刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发往30千米的A镇；二分队因疲劳可在营地休息a(0≤a≤3)小时再往A镇参加救灾。一分队了发后得知，唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路，已知一分队的行进速度为5千米/时，二分队的行进速度为(4+a)千米/时。

⑴若二分队在营地不休息，问二分队几小时能赶到A镇？

⑵若二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息几小时？

⑶下列图象中，①②分别描述一分队和二分队离A镇的距离y(千米)和时间x(小时)的函数关系，请写出你认为所有可能合理的代号，并说明它们的实际意义。

[命题意图]培养学生观察图形的能力和方法。

[参考答案](1)若二分队在营地不休息，则a＝0，速度为4千米/时，行至塌方处需(小时)因为一分队到塌方处并打通道路需要(小时)，故二分队在塌方处需停留0.5小时，所以二分队在营地不休息赶到A镇需2.5+0.5+＝8(小时)　(2)一分队赶到A镇共需+1＝7(小时)

(Ⅰ)若二分队在塌方处需停留，则后20千米需与一分队同行，故4+a＝5，即a=1，这与二分队在塌方处停留矛盾，舍去；　　　　　　　　　　　　(Ⅱ)若二分队在塌方处不停留，则(4+a)(7－a)=30，即a²－3a+2＝0,,解得a₁=1，a₂=2均符合题意。答：二分队应在营地休息1小时或2小时。(其他解法只要合理即给分)　　图像(b)表明二分队在营地休息时间过长(2＜a≤3)，后于一分队赶到A镇；

图像(d)表明二分队在营地休息时间恰当(1＜a≤2)，先于一分队赶到A镇。　……14分

[试题来源]中考指南全真模拟试题

27．(本题满分14分)

“5·12”四川汶川大地震的灾情牵动全国人民的心，某市A、B两个蔬菜基地得知四川C、D两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后，决定调运蔬菜支援灾区．已知A蔬菜基地有蔬菜200吨，B蔬菜基地有蔬菜300吨，现将这些蔬菜全部调往C、D两个灾民安置点．从A地运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．

(1)　 请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值；

(2)　 设A、B两个蔬菜基地的总运费为w元，写出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；

(3)　 经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少元(＞0)，其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调运方案．

[命题意图]考查学生列方程解应用题。

[参考答案] (1)填表

依题意得：. ------------------------------4分

　　　　　　　 解得： .　　 -----------------------------------------------------------------5分

　　　　 (2) w与x之间的函数关系为：.　　 -------------------------------------8分

依题意得： .　　 ∴40≤≤240　　 ----------------------------------9分

　 在中，∵2>0，　∴随的增大而增大，　 　　表一：

故当＝40时，总运费最小， ---------------------10分

　　　 此时调运方案为如右表一. 　　----------------------11分

　 (3)由题意知

　　　 ∴0<<2时，(2)中调运方案总运费最小；-----12分

　　　　 =2时，在40≤≤240的前提下调运　　　　　　　　 表二：

方案的总运费不变；　　　　　　 ------13分　

　 　2<<15时，＝240总运费最小，

其调运方案如右表

　[试题来源]初三月考试题改编

26. 杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线的一部分，如图。

(1)求演员弹跳离地面的最大高度；

(2)已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由。

.[命题意图]抛物线和二次函数性质

[参考答案]1)=……4分

∵，∴函数的最大值是。

答：演员弹跳的最大高度是米。……6分

(2)当x＝4时，＝3.4＝BC，所以这次表演成功。……10分

[试题来源]本校月考加工总结所得