5.理解万有引力定律

(1)万有引力定律：

1自然界的一切物体都相互吸引，两个物体间的引力的大小，跟它们的质量乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。

2公式：，G=6.67×10^-11N.m²/kg².

3适用条件：适用于相距很远，可以看做质点的两物体间的相互作用，质量分布均匀的球体也可用此公式计算，其中r指球心间的距离。

(2)万有引力定律的应用：

1讨论重力加速度g随离地面高度h的变化情况： 物体的重力近似为地球对物体的引力，即mg=G。所以重力加速度g= G，可见，g随h的增大而减小。

2求天体的质量：通过观天体卫星运动的周期T和轨道半径r或天体表面的重力加速度g和天体的半径R，就可以求出天体的质量M。

3求解卫星的有关问题：根据万有引力等于卫星做圆周运动的向心力可求卫星的速度、周期、动能、动量等状态量。由G=m得V=，由G= mr(2π/T)²得T=2π。由G= mrω²得ω=，由E_k=mv²=G。

(3)三种宇宙速度：1第一宇宙速度V₁=7.9Km/s,人造卫星的最小发射速度；2第二宇宙速度V₂=11.2km/s,使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度；(3)第三宇宙速度V₃=16.7km/s,使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。

[例题解析]

类型一：运动的合成与分解的应用

例1．一条宽度为L的河流，水流速度为V_s,已知船在静水中的速度为V_c，那么：

(1)怎样渡河时间最短？

(2)若V_c>V_s,怎样渡河位移最小？

(3)若V_c<V_s,怎样注河船漂下的距离最短？

解：(1)如图甲所示，设船上头斜向上游与河岸成任意角θ，这时船速在垂直于河岸方向的速度分量V₁=V_csinθ,渡河所需时间为：.

可以看出：L、V_c一定时，t随sinθ增大而减小；当θ=90⁰时，sinθ=1,所以，当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，.

(2)如图乙所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于L，必须使船的合速度V的方向与河岸垂直。这是船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ。根据三角函数关系有：V_ccosθ─V_s=0.

所以θ=arccosV_s/V_c,因为0≤cosθ≤1,所以只有在V_c>V_s时，船才有可能垂直于河岸横渡。

(3)如果水流速度大于船上在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游。怎样才能使漂下的距离最短呢？如图丙所示，设船头V_c与河岸成θ角，合速度V与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以V_s的矢尖为圆心，以V_c为半径画圆，当V与圆相切时，α角最大，根据cosθ=V_c/V_s,船头与河岸的夹角应为：θ=arccosV_c/V_s.

船漂的最短距离为：.

此时渡河的最短位移为：.

针对训练1：如图所示，杆OA长为R，可绕过O点的水平轴在竖直平面内转动，其端点A系着一跨过定滑轮B、C的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块M。滑轮的半径可忽略，B在O的正上方，OB之间的距离为H。某一时刻，当绳的BA段与OB之间的夹角为α时，杆的角速度为ω，求此时物块M的速率V_m。

类型二：平抛运动的相关问题

例2．如图所示，一足够长的固定光滑斜面与水平面的夹角为53°，物体A以初速度v₁从斜面顶端水平抛出，物体B在斜面上距顶端L=20m处同时以速度v₂沿斜面向下匀加速运动，经历时间t物体A和物体B在斜面上相遇，则下列各组速度和时间中满足条件的是(cos53°=0.6，sin53°=0.8，g=10 m/s²)　

A．v₁=15m/s，v₂=4 m/s，t=4s

B．v₁=15 m/s，v₂=6 m/s，t=3s

C．v₁=18 m/s，v₂=4 m/s，t=4s

D．v₁=18m/s，v₂=6 m/s，t=3s

解析：由平抛运动知识得，得4v₁＝15t，把各选项中的时间t和速度v₁代入上式，只有A项能使关系式有解。故正确答案为A。

答案：A。

点评：本题考查考点“平抛运动”，涉及到运动的合成与分解、匀变速直线运动等知识。本题重在考查考生对“物体A和物体B在斜面上相遇”这一条件的理解应用能力。本题不仅考查对平抛运动规律的应用，同时考查考生应用多种方法解决问题的能力。如果不采用代入法而自接推导会复杂得多。平抛运动还可结合牛顿运动定律、天体运行、电场等知识进行综合命题。

针对训练2：如图在倾角为θ的斜面顶端A处以速度V₀水平抛出一小球，落在斜面上的某一点B处，设空气阻力不计，求(1)小球从A运动到B处所需的时间；(2)从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？

类型三：匀速圆周运动的特点分析求解皮带传动和摩擦传动问题

例3．如图所示装置中，三个轮的半径分别为r、2r、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。

解析：因v_a= v_c，而v_b∶v_c∶v_d =1∶2∶4，所以v_a∶ v_b∶v_c∶v_d =2∶1∶2∶4；ω_a∶ω_b=2∶1，而ω_b=ω_c=ω_d ，所以ω_a∶ω_b∶ω_c∶ω_d =2∶1∶1∶1；再利用a=vω，可得a_a∶a_b∶a_c∶a_d=4∶1∶2∶4。

针对训练3：如图所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径r₀=1.0cm的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边缘接触。当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力。自行车车轮的半径R₁=35cm，小齿轮的半径R₂=4.0cm，大齿轮的半径R₃=10.0cm。求大齿轮的转速n₁和摩擦小轮的转速n₂之比。(假定摩擦小轮与自行车轮之间无相对滑动)

类型四：水平面内和竖直面内的圆周运动问题

例4．如图所示，两绳系一质量为m=0.1kg的小球，两绳的另一端分别固定于轴的AB两处，上面绳长l=2m，两绳拉直时与轴的夹角分别为30°和45°，问球的角速度在什么范围内两绳始终有张力?

解析：设两细线都拉直时，A、B绳的拉力分别为、，小球的质量为m，A线与竖直方向的夹角为，B线与竖直方向的夹角为，受力分析，由牛顿第二定律得：

当B线中恰无拉力时，　 ①

　 ②

由①、②解得rad/s

当A线中恰无拉力时，　 ③

　 ④　 (3分)

由③、④解得rad/s

所以，两绳始终有张力，角速度的范围是rad/s rad/s

点评：本题以圆周运动为情境，要求考生熟练掌握并灵活应用匀速圆周运动的规律，不仅考查考生对牛顿第二定律的应用，同时考查考生应用多种方法解决问题的能力。比如正交分解法、临界分析法等。综合性强，能考查考生多方面的能力，能真正考查考生对知识的掌握程度。体现了对考生分析综合能力和应用数学知识解决物理问题能力的考查。解决本题的关键，一是利用几何关系确定小球圆周运动的半径；二是对小球进行受力分析时，先假定其中一条绳上恰无拉力，通过受力分析由牛顿第二定律求出角速度的一个取值，再假定另一条绳上恰无拉力，求出角速度的另一个取值，则角速度的范围介于这两个值之间时两绳始终有张力。

针对训练4：小球A用不可伸长的细绳悬于O点，在O点的正下方有一固定的钉子B，OB=d，初始时小球A与O同水平面无初速度释放，

绳长为L，为使小球能绕B点做完整的圆周运动，

如图所示。试求d的取值范围。

类型五：会用万有引力定律求天体的质量和密度

例5．宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G。求该星球的质量M。

解析：设抛出点的高度为h,第一次平抛的水平射程为x,则有

　　　　　　 x²+h²=L²　　　　

由平抛运动规律得知，当初速度增大到2倍时，其水平射程也增大到2x,可得　　　 (2x)²+h²=(L)²　　　　　　　

设该星球上的重力加速度为g，由平抛运动的规律得：

　　　 h=gt²　　　　　　　　　　　　

由万有引力定律与牛顿第二定律得：

　 mg= G　　　　　　　　　　　　　

联立以上各式解得M=。

针对训练5：如果某行星有一颗卫星沿非常靠近此恒星的表面做匀速圆周运动的周期为T，则可估算此恒星的密度为多少?

类型六：卫星运动及航天技术

例6．2006年9月3日欧洲航天局的第一枚月球探测器“智能1号”成功撞上月球。已知“智能1号”月球探测器环绕月球沿椭圆轨道运动，用m表示它的质量，h表示它近月点的高度，ω表示它在近月点的角速度，a表示它在近月点的加速度，R表示月球的半径，g表示月球表面处的重力加速度。忽略其他星球对“智能1号”的影响。则“智能1号”在近月点所受月球对它的万有引力的大小等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A．ma　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 B．m

C．m D．以上结果都不对

解析：“智能1号”在近月点所受月球对它的万有引力，即为它所受的合外力，由牛顿第二定律得，，故A正确。由万有引力定律得，，又月球表面上，，由以上两式得 m，故B选项正确；由于“智能1号”月球探测器环绕月球沿椭圆轨道运动，在近月点上万有引力小于其所需的向心力，故C选项错误。

答案：AB。

题后反思：本题以2006年9月3日欧洲航天局的月球探测器“智能1号”撞击月球为背景，考查学生多万有引力定律及牛顿第二定律的理解。试题难度不大，但要求考生有一定的理解能力。

针对训练6：某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天(太阳光直射赤道)在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g,地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射。

[专题训练与高考预测]

4.理解圆周运动的规律

(1)匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的弧长相等，这种运动就叫做匀速周圆运动。

(2)描述匀速圆周运动的物理量

①线速度，物体在一段时间内通过的弧长S与这段时间的比值，叫做物体的线速度，即V=S/t。线速度是矢量，其方向就在圆周该点的切线方向。线速度方向是时刻在变化的，所以匀速圆周运动是变速运动。

②角速度，连接运动物体和圆心的半径在一段时间内转过的角度θ与这段时间的比值叫做匀速圆周运动的角速度。即=θ/t。对某一确定的匀速圆周运动来说，角速度是恒定不变的，角速度的单位是rad/s。

③周期T和频率

(3)描述匀速圆周运动的各物理量间的关系:

(4)向心力：是按作用效果命名的力，其动力学效果在于产生向心加速度，即只改变线速度方向，不会改变线速度的大小。对于匀速圆周运动物体其向心力应由其所受合外力提供。.

3.理解平抛物体的运动的规律

(1)物体做平抛运动的条件：只受重力作用，初速度不为零且沿水平方向。

物体受恒力作用，且初速度与恒力垂直，物体做类平抛运动。

(2)平抛运动的处理方法

通常，可以把平抛运动看作为两个分运动的合动动：一个是水平方向(垂直于恒力方向)的匀速直线运动，一个是竖直方向(沿着恒力方向)的匀加速直线运动。

(3)平抛运动的规律

以抛出点为坐标原点，水平初速度V₀方向为沿x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，建立如图所示的坐标系，在该坐标系下，对任一时刻t.

①位移

分位移,

合位移,.

为合位移与x轴夹角.

②速度

分速度,　 V_y=gt,　

合速度,.

为合速度V与x轴夹角

(4)．平抛运动的性质

做平抛运动的物体仅受重力的作用，故平抛运动是匀变速曲线运动。

2．理解运动的合成与分解

物体的实际运动往往是由几个独立的分运动合成的，由已知的分运动求跟它们等效的合运动叫做运动的合成；由已知的合运动求跟它等效的分运动叫做运动的分解。

运动的合成与分解基本关系：1分运动的独立性；2运动的等效性(合运动和分运动是等效替代关系，不能并存)；3运动的等时性；4运动的矢量性(加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。)

1．理解曲线运动的条件和特点

(1)曲线运动的条件：运动物体所受合外力的方向跟其速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动。

(2)曲线运动的特点：1在曲线运动中，运动质点在某一点的瞬时速度方向，就是通过这一点的曲线的切线方向。②曲线运动是变速运动，这是因为曲线运动的速度方向是不断变化的。3做曲线运动的质点，其所受的合外力一定不为零，一定具有加速度。

12．如图所示，光滑坡道顶端距水平面高度为h，质量为m的小物块A 从坡道顶端由静止滑下，进入水平面上的滑道时无机械能损失，为使A制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线M处的墙上，另一端恰位于滑道的末端O点。已知在OM段，物块A与水平面间的动摩擦因数均为μ，其余各处的摩擦不计，重力加速度为g，求：

(1)物块速度滑到O点时的速度大小；

(2)弹簧为最大压缩量d时的弹性势能　　

(设弹簧处于原长时弹性势能为零)

(3)若物块A能够被弹回到坡道上，则它

11．质量为m的小球固定在光滑轻细杆的上端，细杆通过光滑限位孔保持竖直。在光滑水平面上放置一质量为M＝2m的凹形槽，凹形槽的光滑内表面如图所示，AB部分是斜面，与水平面成θ＝30°，BCD部分是半径为R的圆弧面，AB与BCD两面在B处相切。让细杆的下端与凹形槽口的左边缘A点接触。现将小球释放，求：

(1)当轻细杆的下端滑到凹形槽的最低点C时，凹形槽的速度是多大；

(2)轻细杆的下端能否运动到凹形槽口的右边缘 D点；(只要回答“能”或“不能”，不需说明原因)

(3)当轻细杆的下端滑到B点的瞬间，小球和凹形槽的速度各是多大。

10．2003年1月5日晚，在太空遨游92圈的神舟四号飞船返回舱按预定计划，载着植物种子、邮票、纪念品等实验品，安全降落载内蒙古中部草原。“神舟四号”飞船在返回时先要进行姿态调整，飞船的返回舱与留轨舱分离，返回舱以近8km/s的速度进入大气层，当返回舱距地面30km时，返回舱上的回收发动机启动，相继完成拉天线、抛掉底盖等动作。在飞船返回舱距地面20km以下的高度后，速度减为200m/s而匀速下降，此段过程中返回舱所受空气阻力为，式中为大气密度，是返回舱的运动速度，为与形状特征有关的阻力面积。当返回舱距地面为10km时，打开面积为1200m²的降落伞，直到速度达到8m/s后匀速下落。为实现软着陆(即着陆时返回舱的速度为0)，当返回舱距地面1.2m时反冲发动机点火，使返回舱落地的速度减为零，返回舱此时的质量为2.7×10³kg，取g=10m/s²。

(1)用字母表示出返回舱载速度为200m/s时的质量

(2)分析打开降落伞到反冲发动机点火前，返回舱的加速度和速度的变化情况

(3)求反冲发动机的平均反推力的大小及反冲发动机对返回舱做的功

9．跳台跳水是我国的传统强项体育运动。我国某优秀跳水运动员在10m跳台项目中，起跳达到最高位置时，估计她的重心离跳台台面的高度为1m，当她下降到手触及水面时要伸直，双肩做一个翻掌压水花的动作，这时她的重心离水面大约也是1m。若从最高点到手触及水面的过程中其重心看作是自由落体运动，那么：

(1)她在空中完成一系列动作可利用的时间为多少？

(2)入水之后，她的重心能下沉到离水面约2.5m处，试估算水对她的平均阻力约为她自身重力的几倍？

8．汽车发动机的额定牵引功率为60kw，汽车的质量为5×10³kg，汽车在水平路面上行驶时，阻力是车重的0.1倍，试求：　

(1)汽车保持额定功率从静止起动后能达到的最大速度是多少？

(2)若汽车从静止开始，保持以0.5m/s²的加速度做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？