4．在应用题背景条件下，能否把一个复杂事件分解为若干个互相排斥或相互独立、既不重复又不遗漏的简单事件是解答这类应用题的关键，也是考查学生分析问题、解决问题的能力的重要环节。

3．对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A的对立事件记作，从集合的角度来看，事件所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集，即A∪=U，A∩=.对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。

事件A、B的和记作A+B，表示事件A、B至少有一个发生。当A、B为互斥事件时，事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的。

当计算事件A的概率P(A)比较困难时，有时计算它的对立事件的概率则要容易些，为此有P(A)=1－P()。

对于n个互斥事件A₁，A₂，…，A_n，其加法公式为P(A₁+A₂+…+A_n)=P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n)。

分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想。

2．对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：

第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系；

第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；

第三，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的。

本讲概念性强、抽象性强、思维方法独特。因此要立足于基础知识、基本方法、基本问题的练习，恰当选取典型例题，构建思维模式，造就思维依托和思维的合理定势。

1．使用公式P(A)=计算时，确定m、n的数值是关键所在,其计算方法灵活多变,没有固定的模式，可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏。

复习这部分内容及解答此类问题首先必须使学生明确判断两点：(1)对于每个随机实验来说，所有可能出现的实验结果数n必须是有限个；(2)出现的所有不同的实验结果数m其可能性大小必须是相同的。只有在同时满足(1)、(2)的条件下，运用的古典概型计算公式P(A)=m/n得出的结果才是正确的。

题型1：随机事件的定义

例1．判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？

(1)“抛一石块，下落”.

(2)“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”；

(3)“某人射击一次，中靶”；

(4)“如果a＞b,那么a－b＞0”;

(5)“掷一枚硬币，出现正面”；

(6)“导体通电后，发热”；

(7)“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”；

(8)“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；

(9)“没有水份，种子能发芽”；

(10)“在常温下，焊锡熔化”．

解析：根据定义，事件(1)、(4)、(6)是必然事件；事件(2)、(9)、(10)是不可能事件；事件(3)、(5)、(7)、(8)是随机事件。

点评：熟悉必然事件、不可能事件、随机事件的联系与区别。针对不同的问题加以区分。

例2．(1)如果某种彩票中奖的概率为，那么买1000张彩票一定能中奖吗？请用概率的意义解释。

解析：不一定能中奖，因为，买1000张彩票相当于做1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，即每张彩票可能中奖也可能不中奖，因此，1000张彩票中可能没有一张中奖，也可能有一张、两张乃至多张中奖。

点评：买1000张彩票，相当于1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以做1000次试验的结果也是随机的，也就是说，买1000张彩票有可能没有一张中奖。

(2)在一场乒乓球比赛前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球，请用概率的知识解释其公平性。

解析：这个规则是公平的，因为抽签上抛后，红圈朝上与绿圈朝上的概率均是0.5，因此任何一名运动员猜中的概率都是0.5，也就是每个运动员取得先发球权的概率都是0.5。

点评：这个规则是公平的，因为每个运动员先发球的概率为0.5，即每个运动员取得先发球权的概率是0.5。事实上，只能使两个运动员取得先发球权的概率都是0.5的规则都是公平的。

题型2：频率与概率

例3．某种菜籽在相同在相同的条件下发芽试验结果如下表：(求其发芽的概率)

解析：我们根据表格只能计算不同情况下的种子发芽的频率分别是：1，0.8，0.9，0.857，0.892，0.910，0.913，0.893，0.903，0.905。随着种子粒数的增加，菜籽发芽的频率越接近于0.9，且在它附近摆动。故此种子发芽的概率为0.9。

点评：我们可以用频率的趋向近似值表示随机事件发生的概率。

例4．进行这样的试验：从0、1、2、…、9这十个数字中随机取一个数字，重复进行这个试验10000次，将每次取得的数字依次记下来，我们就得到一个包括10000个数字的“随机数表”．在这个随机数表里，可以发现0、1、2、…、9这十个数字中各个数字出现的频率稳定在0.1附近．现在我们把一个随机数表等分为10段，每段包括1000个随机数，统计每1000个随机数中数字“7”出现的频率，得到如下的结果：

由上表可见，每1000个随机数中“7”出现的频率也稳定在0.1的附近．这就是频率的稳定性．我们把随机事件A的频率P(A)作为随机事件A的概率P(A)的近似值。

点评：利用概率的统计定义，在计算每一个随机事件概率时都要通过大量重复的试验，列出一个表格，从表格中找到某事件出现频率的近似值作为所求概率。这从某种意义上说是很繁琐的。

题型3：随机事件间的关系

例5．(1)某战士在打靶中，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是(　 )

　　　 (A)至多有一次中靶　　　　　　　　　　　　　　 (B)两次都中靶

　　　 (C)两次都不中靶　　　　　　　　　　　　　　　　 (D)只有一次中靶

答案：C。

点评：根据实际问题分析好对立事件与互斥事件间的关系。

(2)把标号为1，2，3，4的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一个。事件“甲分得1号球”与事件“乙分得1号球”是(　 )

　　　 (A)互斥但非对立事件　　　　　　　　　　　　　 (B)对立事件

(C)相互独立事件　　　　　　 　　　　　 (D)以上都不对

答案：A。

点评：一定要区分开对立和互斥的定义，互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件。

例6．(2006天津文，18)甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是乙机床产品的正品率是。

　　　 (I)从甲机床生产的产品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率(用数字作答)；

(II)从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率(用数字作答)。

(I)解：任取甲机床的3件产品恰有2件正品的概率为

　　　 (II)解法一：记“任取甲机床的1件产品是正品”为事件A，“任取乙机床的1件产品是正品”为事件B。则任取甲、乙两台机床的产品各1件，其中至少有1件正品的概率为：

　　　 解法二：运用对立事件的概率公式，所求的概率为：

点评：本小题考查互斥事件、相互独立事件的概率等基础知识，及分析和解决实际问题的能力。

题型4：古典概率模型的计算问题

例7．从含有两件正品a₁，a₂和一件次品b₁的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。

解析：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a₁，a₂)和，(a₁，b₂)，(a₂，a₁)，(a₂，b₁)，(b₁，a₁)，(b₂，a₂)。其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，

则A=[(a₁，b₁)，(a₂，b₁)，(b₁，a₁)，(b₁，a₂)]，

事件A由4个基本事件组成，因而，P(A)==。

点评：利用古典概型的计算公式时应注意两点：(1)所有的基本事件必须是互斥的；(2)m为事件A所包含的基本事件数，求m值时，要做到不重不漏。

例8．现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：

(1)如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；

(2)如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率。

分析：(1)为返回抽样；(2)为不返回抽样。

解析：(1)有放回地抽取3次，按抽取顺序(x,y,z)记录结果，则x,y,z都有10种可能，所以试验结果有10×10×10=10³种；设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×8×8=8³种，因此，P(A)= =0.512。

(2)解法1：可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录(x,y,z)，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8=720种．设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为8×7×6=336, 所以P(B)= ≈0.467。

解法2：可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序(x,y,z)记录结果，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，但(x,y,z)，(x,z,y)，(y,x,z)，(y,z,x)，(z,x,y)，(z,y,x)，是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6=120，按同样的方法，事件B包含的基本事件个数为8×7×6÷6=56，因此P(B)= ≈0.467。

点评：关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误。

题型5：利用排列组合知识解古典概型问题

例9．(2006山东文，19)盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意任取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：

(Ⅰ)抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率；

(Ⅱ)抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概念；

(Ⅲ)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率。

解析：(I)“抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为A，

由题意得：；

(II)“抽出的3张中有2张卡片上的数字是3”的事件记为B，

则；

(III)“抽出的3张卡片上的数字互不相同”的事件记为C，“抽出的3张卡片上有两个数字相同”的事件记为D，由题意，C与D是对立事件，

因为，

所以.

点评：该题通过排列、组合知识完成了古典概型的计算问题，同时要做到所有的基本事件必须是互斥的，要做到不重不漏。

例10．(2006安徽文，19)在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。

(Ⅰ)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率；

(Ⅱ)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率；

解析：设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B

(Ⅰ)芳香度之和等于4的取法有2种：、，故。

(Ⅱ)芳香度之和等于1的取法有1种：；芳香度之和等于2的取法有1种：，故。

点评：高考对概率内容的考查，往往以实际应用题出现。这既是这类问题的特点，也符合高考发展方向，考生要以课本概念和方法为主，以熟练技能，巩固概念为目标，查找知识缺漏，总结解题规律。

题型6：易错题辨析

例11．掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率。

错解：掷两枚骰子出现的点数之和不同情况为{2，3，4，…，12}，故共有11种基本事件，所以概率为P=；

剖析：以上11种基本事件不是等可能的，如点数和2只有(1，1)，而点数之和为6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5种．事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P=。

我们经常见的错里还有“投掷两枚硬币的结果”，划分基本事件“两正、一正一反、两反”，其中“一正一反”与“两正”、“两反”的机会是不均等。

类型四：基本事件 “不可数”

由概率求值公式，求某一事件发生的概率时，要求试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。

如果试验所包含的基本事件是无限多个，那根本就不会得到基本事件的总数，也就不能用公式来解决问题。

例12．(2000年天津、山西、江西高考试题)

甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人一次各抽取一题，

(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？

错解：甲从选择题中抽到一题的可能结果有个，乙从判断题中抽到一题的的可能结果是，故甲抽到选择题，乙抽到判断题的可能结果为；又甲、乙二人一次各抽取一题的结果有，所以概率值为。

剖析：错把分步原理当作分类原理来处理。

正解：甲从选择题中抽到一题的可能结果有个，乙从判断题中抽到一题的的可能结果是，故甲抽到选择题，乙抽到判断题的可能结果为；又甲、乙二人一次各抽取一题的结果有，所以概率值为。

(2)甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是多少？

错解：甲、乙中甲抽到判断题的种数是6×9种，乙抽到判断题的种数6×9种，故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的种数为12×9；又甲、乙二人一次各抽取一题的种数是10×9，故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是。

剖析：显然概率值不会大于1，这是错解。该问题对甲、乙二人至少有一个抽到选择题的计数是重复的，两人都抽取到选择题这种情况被重复计数。

正解：甲、乙二人一次各抽取一题基本事件的总数是10×9=90；

方法一：分类计数原理

(1)只有甲抽到了选择题的事件数是：6×4=24；

(2)只有乙抽到了选择题的事件数是：6×4=24；

(3)甲、乙同时抽到选择题的事件数是：6×5=30；

故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是。

方法二：利用对立事件

事件“甲、乙二人至少有一个抽到选择题”与事件“甲、乙两人都未抽到选择题”是对立事件。

事件“甲、乙两人都未抽到选择题”的基本事件个数是4×3=12；

故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是。

5．古典概型

(1)古典概型的两大特点：1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2)每个基本事件出现的可能性相等；

(2)古典概型的概率计算公式：P(A)=；

一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n个,即此试验由n个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是。如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率P(A)=。

4．事件间的运算

(1)并事件(和事件)

若某事件的发生是事件A发生或事件B发生，则此事件称为事件A与事件B的并事件。

注：当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：

P(A+B)=P(A)+P(B)(A、B互斥)；且有P(A+)=P(A)+P()=1。

(2)交事件(积事件)

若某事件的发生是事件A发生和事件B同时发生，则此事件称为事件A与事件B的交事件。

3．事件间的关系

(1)互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；

(2)对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；

(3)包含：事件A发生时事件B一定发生，称事件A包含于事件B(或事件B包含事件A)；

2．随机事件的概率

事件A的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P(A)。

由定义可知0≤P(A)≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。

1．随机事件的概念

在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。

(1)随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；

(2)必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；

(3)不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。