15.(06·北京理综·22)右图是简化后的跳台滑雪的雪道示意图.整个雪道由倾斜的助滑雪道AB和着陆雪道DE,以及水平的起跳平台CD组成,AB与CD圆滑连接。动员从助滑雪道AB上由静止开始,在重力作用下,滑到D点水平飞出,不计飞行中的空气阻力,经2 s在水平方向飞行了60 m,落在着陆雪道DE上.已知从B点到D点运动员的速度大小不变.(g取10 m/s²)求：　

(1)运动员在AB段下滑到B点的速度大小.　

(2)若不计阻力,运动员在AB段下滑过程中下降的高度.

答案　 (1)30 m/s　 (2)45 m　 ?

解析　 (1)运动员从D点飞出时的速度

v==30 m/s?　

依题意,下滑到助滑雪道末端B点的速度大小是30 m/s?.　

(2)在下滑过程中机械能守恒,有

mgh=mv²　下降的高度h==45 m?　

题组二

14.(06·全国卷Ⅱ·23)如图所示,一固定在竖直平面内的光滑的半圆形轨道ABC,其半径R=0.5 m,轨道在C处与水平地面相切,在C处放一小物块,给它一水平向左的初速度v₀=5 m/s,结果它沿CBA运动,通过A点,最后落在水平地面上的D点,求C、D间的距离s.取重力加速度g=10 m/s².　

答案　 1 m

解析　 设小物块的质量为m,过A处时的速度为v,由A到D经历的时间为t,有　

mv₀²=mv²+2mgR　　　　　　　　　　 ①　

2R=gt² ②　

s=vt　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③　

由①②③式并代入数据得s=1 m?　

13.(06·广东·15)一个质量为4 kg的物体静止在足够大的水平地面上,物体与地面间的动摩擦因数μ=0.1.从t=0开始,物体受到一个大小和方向呈周期性变化的水平力F作用,力F随时间的变化规律如图所示.求83秒内物体的位移大小和力F对物体所做的功(g取10 m/s²).　

答案　 167 m　 676 J

解析　 第1个2s内,其加速度:　

a₁== m/s²=2 m/s²　

第1个2 s末的速度:

v₁=a₁t=2×2 m/s=4 m/s?　

第1个2 s内的位移:

s₁=?　

第2个2 s内做减速运动,其加速度大小:　

a₂=　

第2个2 s末的速度:v₂=v₁-a₂t=0　

第2个2 s内的位移:s₂=?　

故物体先匀加速2 s达最大速度4 m/s,后又匀减速运动2 s速度变为零,以后将重复这个运动.　

前84 s内物体的位移s=21(s₁+s₂)=168 m?　

最后1 s内物体的位移s′=　

故83秒内物体的位移为168 m-1 m=167 m?　

第83秒末的速度与第3秒末的速度相等,故v=v₁　

所以力F对物体所做的功W=mv²+fs₈₃=8 J+668 J=676 J?　

12.(07·天津理综·23)如图所示,水平光滑地面上停放着一辆小车,左侧靠在竖直墙壁上,小车的四分之一圆弧轨道AB是光滑的,在最低点B与水平轨道BC相切,BC的长度是圆弧半径的10倍,整个轨道处于同一竖直平面内.可视为质点的物块从A点正上方某处无初速下落,恰好落入小车圆弧轨道滑动.然后沿水平轨道滑行至轨道末端C处恰好没有滑出.已知物块到达圆弧轨道最低点B时对轨道的压力是物块重力的9倍,小车的质量是物块的3倍,不考虑空气阻力和物块落入圆弧轨道时的能量损失.求:　

(1)物块开始下落的位置距水平轨道BC的竖直高度是圆弧半径的几倍.　

(2)物块与水平轨道BC间的动摩擦因数μ.

答案　 (1)4倍　　 (2)0.3　

解析　 (1)设物块的质量为m,其开始下落处的位置距BC的竖直高度为h,到达B点时的速度为v,小车圆弧轨道半径为R.由机械能守恒定律,有　

mgh=mv²　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ①　

根据牛顿第二定律,有　

9mg-mg=m　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②　

解得h=4R　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

即物块开始下落的位置距水平轨道BC的竖直高度是圆弧半径的4倍.　

(2)设物块与BC间的滑动摩擦力的大小为F,物块滑到C点时与小车的共同速度为v′,物块在小车上由B运动到C的过程中小车对地面的位移大小为s.依题意,小车的质量为3m,BC长度为10 R.由滑动摩擦定律,有　

F=μmg　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④　

由动量守恒定律,有mv=(m+3m)v′　　　　　　　　 ⑤　

对物块、小车分别应用动能定理,有　

-F(10R+s)=mv′²-mv²　　　　　　　　　　　　　 ⑥　

Fs=(3m)v′²-0　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑦

解得μ=0.3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑧

11.(07·全国卷Ⅱ·23)如图所示,位于竖直平面内的光滑轨道,由一段斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成,圆形轨道的半径为R.一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑,然后沿圆形轨道运动.要求物块能通过圆形轨道最高点,且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg(g为重力加速度).求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围。

答案　 R≤h≤5R

解析　 设物块在圆形轨道最高点的速度为v,由机械能守恒定律得　

mgh=2mgR+mv² ①　

物块在最高点受的力为重力mg、轨道的压力N.重力与压力的合力提供向心力,有　

mg+N=m　　　　　　　　　　　　　　　　 ②　

物块能通过最高点的条件是　

N≥0　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③　

由②③式得

v≥　　　　　　　　　　　　　　　　 ④　

由①④式得　

h≥R　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤　

按题目要求,N≤5 mg,由②式得　

v≤　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑥　

由①⑥式得　

h≤5R　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑦　

h的取值范围是　

R≤h≤5R　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑧　

10.(07·江苏·19)如图所示,一轻绳吊着粗细均匀的棒,棒下端离地面高H,上端套着一个细环.棒和环的质量均为m,相互间最大静摩擦力等于滑动摩擦力kmg(k>1).断开轻绳,棒和环自由下落.假设棒足够长,与地面发生碰撞时,触地时间极短,无动能损失.棒在整个运动过程中始终保持竖直,空气阻力不计.求：　

(1)棒第一次与地面碰撞弹起上升过程中,环的加速度.　

(2)从断开轻绳到棒与地面第二次碰撞的瞬间,棒运动的路程s.　

(3)从断开轻绳到棒和环都静止,摩擦力对环及棒做的总功W.

答案　 (1)(k-1)g,方向竖直向上　 (2)　 (3)-

解析　 (1)设棒第一次上升过程中,环的加速度为a_环　

环受合力F_环=kmg-mg　　　　　　　　　　　　 ①

由牛顿第二定律F_环=ma_环②

由①②得a_环=(k-1)g,方向竖直向上　

(2)设以地面为零势能面,向上为正方向,棒第一次落地的速度大小为v₁.

由机械能守恒得：×2mv₁²=2mgH　

解得v₁=

设棒弹起后的加速度a_棒　

由牛顿第二定律a_棒=-(k+1)g　

棒第一次弹起的最大高度H₁=-

解得H₁=

棒运动的路程s=H+2H=

(3)解法一：棒第一次弹起经过t₁时间,与环达到相同速度v₁′　

环的速度v₁′=-v₁+a_环t₁　

棒的速度v₁′=v₁+a_棒t₁　

环的位移h_环1=-v₁t₁+a_环t₁²　

棒的位移h_棒1=v₁t₁+a_棒t₁²　

x₁=h_环1-h_棒1?　

解得：x₁=-

棒环一起下落至地　

v₂²-v₁′²=2gh_棒1?　

解得：v₂=

同理,环第二次相对棒的位移　

x₂=h_环2-h_棒2=-

……　

x_n=-

环相对棒的总位移　

x=x₁+x₂+……+x_n+……　

W=kmgx　

得W=-

解法二：设环相对棒滑动距离为l

根据能量守恒mgH+mg(H+l)=kmgl　

摩擦力对棒及环做的总功　

W=-kmgl　

解得W=-

9.(07·山东理综)如图所示,一水平圆盘绕过圆心的竖直轴转动,圆盘边缘有一质量m=1.0 kg的小滑块.当圆盘转动的角速度达到某一数值时,滑块从圆盘边缘滑落,经光滑的过渡圆管进入轨道ABC.已知AB段斜面倾角为53°,BC段斜面倾角为37°,滑块与圆盘及斜面间的动摩擦因数均为μ=0.5,A点离B点所在水平面的高度h=1.2 m.滑块在运动过程中始终未脱离轨道,不计在过渡圆管处和B点的机械能损失,最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力,取g=10 m/s²,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8.　

(1)若圆盘半径R=0.2 m,当圆盘的角速度多大时,滑块从圆盘上滑落？

(2)若取圆盘所在平面为零势能面,求滑块到达B点时的机械能.　

(3)从滑块到达B点时起,经0.6 s正好通过C点,求BC之间的距离.

　 答案　 (1)5 rad/s　 (2)-4 J　 (3)0.76 m

　 解析　 (1)滑块在圆盘上做圆周运动时,静摩擦力充当向心力,根据牛顿第二定律,可得:　

μmg=mω²R　

代入数据解得：ω==5 rad/s?

(2)滑块在A点时的速度：v_A=ωR=1 m/s?

从A到B的运动过程由动能定理得　

mgh-μmgcos 53° ·=mv_B²-mv_A²　

在B点时的机械能：E_B=mv_B²-mgh=-4 J　

(3)滑块在B点时的速度：v_B=4 m/s?　

滑块沿BC段向上运动时的加速度大小：　

a₁=g(sin 37°+μcos 37°)=10 m/s²　

返回时的加速度大小　

a₂=g(sin 37°-μcos 37°)=2 m/s²　

BC间的距离：s_BC==0.76 m

8.(07·上海·5)在竖直平面内,一根光滑金属杆弯成如图所示形状,相应的曲线方程为y=2.5cos(kx+π)(单位: m),式中k=1 m^-1.将一光滑小环套在该金属杆上,并从x=0处以v₀=5 m/s的初速度沿杆向下运动,取重力加速度g=10 m/s²..则当小环运动到x= m时的速度大小v=　　　　 m/s;该小环在x轴方向最远能运动到x=　　　　 m处. 答案　 　

解析　 当x=0时,y₁=2.5 cos π=-1.25 m,当x=时,y₂=2.5 cos π=-2.5 m,由此可知,小环下落的高度为Δy=y₁-y₂=-1.25 m-(-2.5) m=1.25 m由动能定理得:mgΔy=mv²-mv₀²,代入数值得:v= m/s.当小环速度为零时,设上升的高度为h,由动能定理得:-mgh=0-mv₀²,则h==1.25 m,故当y=0时,小环速度为零,所以有2.5cos (kx+π)=0,得x=π

7.(07·天津理综·15)如图所示,物体A静止在光滑的水平面上,A的左边固定有轻质弹簧,与A质量相等的物体B以速度v向A运动并与弹簧发生碰撞.A、B始终沿同一直线运动,则A、B组成的系统动能损失最大的时刻是　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )　

A.A开始运动时　 　　　　　

B.A的速度等于v时　　

C.B的速度等于零时　　

D.A和B的速度相等时

答案　 D

解析　 A、B两物体碰撞过程中动量守恒,当A、B两物体速度相等时,系统动能损失最大,损失的动能转化成弹簧的弹性势能.　

6.(07·山东理综·20)如图所示,光滑轨道MO和ON底端对接且ON=2MO,M、N两点高度相同.小球自M点由静止自由滚下,忽略小球经过O点时的机械能损失,以v、S、a、E₀、分别表示小球的速度、位移、加速度和动能四个物理量的大小.下列图象中能正确反映小球自M点到N点运动过程的是　　 (　　 )

答案　 A?

解析　 从M到O,v₁=a₁t,从O到N,v₂=v₁-a₂t=(a₁-a₂)t,v与t是一次函数关系,所以A正确;从M到O,s=a₁t₂,则s与t的图象是抛物线,所以B错;从M到O和从O到N,加速度是常数,所以C错;从M到O,Ek=mv₁²=ma₁²t²,所以D错.