0  418282  418290  418296  418300  418306  418308  418312  418318  418320  418326  418332  418336  418338  418342  418348  418350  418356  418360  418362  418366  418368  418372  418374  418376  418377  418378  418380  418381  418382  418384  418386  418390  418392  418396  418398  418402  418408  418410  418416  418420  418422  418426  418432  418438  418440  418446  418450  418452  418458  418462  418468  418476  447090 

37.如图所示,已知A,B为椭圆和双曲线的公共顶点。P,Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点,且有,设AP,BP,AQ,BQ的斜率分别为

(Ⅰ)求证;

(Ⅱ)设分别为椭圆和双曲线的右焦点,

若 PF2∥QF1  ,求的值。

解(Ⅰ):设点P,Q的坐标分别为

,即

所以

类似地

设O为原点,则

  ∴, ∴三点O,P,Q共线

,由①②得

(Ⅱ)证明:因点Q在椭圆上,有

,从而……③

又点P在双曲线上,有…………④

由③④解得

,∴,故

所以

由①得

同理

另一方面

类似地

所以

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36.已知:=(c,0)(c>0),,最小值为1.若动点P同时满足下列条件①其中③动点P的轨迹C过点B(0,-1).

(1)   求c的值;

(2)   求曲线C的方程;

(3)   过点M(0,2)的直线与曲线C的轨迹交于A,B两点,求的取值范围.

解:(1) ,

时, 的最小值为1,,,.   

(2),, 曲线C的方程为.

(3)设直线的方程为:.(*)

得:

,又,.

当k不存在时, =3,所以.  

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35.已知一次函数f(x)的图像关于直线x-y=0对称的图像为C,且f(-1)=0,若点(n+1,在曲线C上,并有

(1)    求曲线C的方程;

(2)    求数列的通项公式;

(3)    设,若恒成立,求实数M的取值范围。

解:(1)设f(x)=kx+b(k0),则曲线C的方程为

f(-1)=0,-k+b=0   ①

又点(n+1,在曲线C上,即(2,1)在曲线上。

   ②     由①②得:k=b=1      C:x-y-1=0。

(2)点(n+1,在曲线C上,,而

(3)

关于n单调增。

恒成立,则

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34.已知函数,且函数的图像关于原点对称,其图像在x=3处的切线方程为8x-y-18=0。

(1)    求的解析式;

(2)      是否存在区间[a,b],使得函数g(x)的定义域和值域均为[a,b],且解析式与的解析式相同?若存在,求出这样的一个区间[a,b];若不存在,请说明理由。

解:(1)的图像关于原点对称,恒成立,即恒成立,

的图像在x=3处的切线方程为

,据题意得:解得:

 

(2)由得x=0或

,由,且当时,,当

所以,函数上递增,在上递减。

于是,函数在上的极大值和极小值分别为

故存在这样的区间[a,b],其中满足条件的一个区间

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33.曲线有极小值,当处有极大值,且在x=1处切线的斜率为.

(1)求

(2)曲线上是否存在一点P,使得y=的图象关于点P中心对称?若存在,请求出点P坐标,并给出证明;若不存在,请说明理由.

解:f(x)=3ax2+2bx+c   ∵当x=1±时  f(x)有极小值及极大值

f′(1±)=0  即1±为3ax2+2bx+c=0两根

∴b=-3a , c=-6a 

又∵f(x)在x=1处切线的斜率为

(2)假设存在P(x0, y0),使得f(x)的图象关于P中心对称,

f(x0+x)+f(x0x)=2y­0                  

即-(x0+x)3+(x0+x)2+x0+x(x0x)3+(x0x)2+x0x=2y0

化解得

∵对于任意x∈R等式都成立

x0=1, y0=.易知P(1,)在曲线y=f(x)上.

∴曲线上存在P(1,)使得f(x)的图象关于中心对称

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32.如图,平面PAD平面ABCD,PAD是正三角形,

ABCD是矩形,M是AB的中点,PC与平面ABCD成角。

(1)    求的值;

(2)    求二面角P-MC-D的大小;

(3)    当AD的长为多少时,点D到平面PMC的距离为2。

解:(1)取AD中点H,则面PAD平面ABCD,

面ABCD,PC与面ABCD所成的角为

设AD=a,则。 

(2)连结HM,由可得:

,由三垂线定理得

是二面角P-MC-D的平面角。

二面角P-MC-D的平面角为 

可得:AD=

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31.已知ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD=2.

  (Ⅰ)求PC与平面PBD所成的角;

  (Ⅱ)求点D到平面PAC的距离;

  (Ⅲ)在线段PB上是否存在一点E,使PC⊥平面ADE?

     若存在,确定E点的位置,若不存在,说明理由.

解:  (Ⅰ)设AC与BD相交于点O,连接PO。

∵ABCD是正方形,∴AC⊥BD。

又∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AC。

∵BD∩PD=D,  ∴AC⊥平面PBD。

∴∠CPO为PC与平面PBD所成的角。

∵PD=AD=2,则OC=,PC=2

  在Rt△POC中,∠POC=90°,

∴PC与平面PBD所成的角为30°

 (Ⅱ)过D做DF⊥PO于F,∵AC⊥平面PBD,

DF平面PBD, ∴AC⊥DF。

  又∵PO∩AC=O, ∴DF⊥平面PAC。

在Rt△PDO中,∠PDO=90°,

∴PO·DF=PD·DO。   ∴ 

(Ⅲ)假设存在E点,使PC⊥平面ADE.

    过E在平面PBC内做EM∥PC交BC于点M,

    连接AE、AM.

    由AD⊥平面PDC可得AD⊥PC.   ∵PC∥EM,∴AD⊥EM.

    要使PC⊥平面ADE,即使EM⊥平面ADE.   即使EM⊥AE.

设BM=,则EM=,EB=.  在△AEB中由余弦定理得AE2=4+3-4

    在Rt△ABM中,∠ABM=90°.  ∴AM2=4+.

    ∵EM⊥AE,∴4+=4+3-4+2.  ∴=0. ∵,∴=1.

∴E为PB的中点,即E为PB的中点时,PC⊥平面ADE. 

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30.某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需要面粉6吨,每吨面粉的价格为1800元,面粉的保管与其费用为平均每天3元,购买面粉每次支付运费900元。

(1)    求该厂多少购买一次面粉才能使平均每天支付的总费用最小;

(2)    若提供面粉的公司规定,当一次购买面粉不少210吨时其价格可享受九折惠(即原价的90%)。问该厂是否考虑利用此优惠条件,请说明理由。

解(1)设该厂应隔x天购买一次面粉,其购买量为6x吨,则面粉的保管与其它费用

,平均每天支出的费用为,则

  

即每隔10天购买一次才能使平均每天支付的总费用最小。

(2)若厂家利用此优惠条件,则至少35天购买一次面粉,设该厂利用此优惠条件,每隔x天(x) 购买一次面粉,平均每天支出的费用为

利用单调性可证上递增。

取得最小值,即

该厂应接受此优惠条件。

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29. 某人抛掷一枚硬币,出现正反的概率都是,构造数列,使得,记

(1)    求的概率;

(2)    若前两次均出现正面,求的概率。

解:(1),需4次中有3次正面1次反面,设其概率为

(2)6次中前两次均出现正面,要使,则后4次中有2次正面、2次反面或3次正面、1次反面。设其概率为

 

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28.已知

(1)求;  (2)求

解:(1)由 

   

(2)由

     由

     在时,  

   矛盾,故舍去.

可取. 因此

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