7．将新数据列中的第7个数97与右边相邻的数49进行比较，因为49<97，97应下沉，所以顺序改变，得到新的数据列：

{38，49，65， 76， 13，97， 49，27}

我们把上述过程称为一趟排序。其基本特征是最大的数据沉到底，即排在最左边位置上的数据是数组中最大的数据。反复执行上面的步骤，就能完成排序工作，排序过程不会超过7趟。这种排序的方法称为冒泡排序。

上面的分析具有一般性，如果数据列有n个数据组成，至多经过n－1趟排序，就能完成整个排序过程。

6．将新数据列中的第6个数97与右边相邻的数27进行比较，因为27<97，97应下沉，所以顺序改变，得到新的数据列：

{38，49，65， 76， 13，97，27，49}

5．将新数据列中的第5个数97与右边相邻的数13进行比较，因为13<97，97应下沉，所以顺序改变，得到新的数据列：

{38，49，65， 76， 13，97，27，49}

4．将新数据列中的第4个数97与右边相邻的数76进行比较，因为76<97，97应下沉，所以顺序不变，得到新的数据列：

{38，49，65， 76，97，13，27，49}

3．将新数据列中的第3个数65与右边相邻的数97进行比较，因为97>65，所以顺序不变，得到新的数据列：

{38，49，65，97，76，13，27，49}

2．将新数据列中的第2个数49与右边相邻的数65进行比较，因为65>49，所以顺序不变，得到新的数据列：

{38，49，65，97，76，13，27，49}

1．将第1个数与右边相邻的数38进行比较，因为38<49，49应下沉，即向右移动，所以交换他们的位置，得到新的数据列：

{38，49，65，97，76，13，27，49}

3.排序

排序的算法很多，课本主要介绍里两种排序方法：直接插入排序和冒泡排序

(1)直接插入排序

在日常生活中，经常碰到这样一类排序问题：把新的数据插入到已经排好顺序的数据列中。

例如：一组从小到大排好顺序的数据列{1，3，5，7，9，11，13}，通常称之为有序列，我们用序号1，2，3，……表示数据的位置，欲把一个新的数据8插入到上述序列中。

完成这个工作要考虑两个问题：

(1)确定数据“8”在原有序列中应该占有的位置序号。数据“8”所处的位置应满足小于或等于原有序列右边所有的数据，大于其左边位置上所有的数据。

(2)将这个位置空出来，将数据“8”插进去。

对于一列无序的数据列，例如：{49，38，65，97，76，13，27，49}，如何使用这种方法进行排序呢？基本思想很简单，即反复使用上述方法排序，由序列的长度不断增加，一直到完成整个无序列就有序了。

首先，{49}是有序列，我们将38插入到有序列{49}中，得到两个数据的有序列：

{38，49}，

然后，将第三个数据65插入到上述序列中，得到有序列：

{38，49，65}

…………

按照这种方法，直到将最后一个数据65插入到上述有序列中，得到

{13，27，38，49，49，65，76，97}

这样，就完成了整个数据列的排序工作。注意到无序列“插入排序算法”成为了解决这类问题的平台。

(2)冒泡法排序

所谓冒泡法排序，形象地说，就是将一组数据按照从小到大的顺序排列时，小的数据视为质量轻的，大的数据视为质量沉的。一个小的数据就好比水中的气泡，往上移动，一个较大的数据就好比石头，往下移动。显然最终会沉到水底，最轻的会浮到顶，反复进行，直到数据列排成为有序列。以上过程反映了这种排序方法的基本思路。

我们先对一组数据进行分析。

设待排序的数据为：{49，38，65，97，76，13，27，49}

排序的具体操作步骤如下：

2．秦九韶算法

秦九韶算法的一般规则：

秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+….+a₁x+a₀的求值问题。用秦九韶算法求一般多项式f(x)= a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+….+a₁x+a₀当x=x₀时的函数值，可把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题，即求

v₀=a_n

v₁=a_nx+a_n－1

v₂=v₁x+a_n－2

v₃=v₂x+a_n－3

……..

v_n=v_n－1x+a₀

观察秦九韶算法的数学模型，计算v_k时要用到v_k－1的值，若令v₀=a_n。

我们可以得到下面的递推公式：

v₀=a_n

v_k=v_k－1+a_n－k(k=1,2,…n)

这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结构来实现。

1．求最大公约数

(1)短除法

求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，然后把所有的除数连乘起来。

(2)穷举法(也叫枚举法)

穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数 。

(3)辗转相除法

辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法可以描述如下：

① 输入两个正整数m和n；

② 求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中；

③更新被除数和余数：m=n，n=r；

④判断余数r是否为0。若余数为0，则输出结果；否则转向第②步继续循环执行。

如此循环，直到得到结果为止。

(4)更相减损术

我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在《九章算术》中记载了更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母•子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。

步骤：

Ⅰ．任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。

Ⅱ．以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)就是所求的最大公约数。