4、通过解决实际问题，深入理解数学概念的本质

很多数学概念都有其实际背景, 它的产生必然离不开现实世界,离不开生活实际, 反过来, 在概念形成后, 学会在实际问题中运用所学概念, 这也是深入理解概念本质的有效途径。如学习“等比数列”概念之后，可解决实际问题：“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？。利用统计中的“方差”概念, 通过对几组数据的分析, 判断某事件(如射击、成绩、机器性能等)的稳定性等等, 通过解决这些实际问题,能够极大提高学生运用概念的灵活性,并对概念的本质有更深入的理解。

总之，在概念教学中，要根据课标对概念教学的具体要求，创造性地使用教材。优化概念教学设计，把握概念教学过程，真正使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造。

参考文献：

3、将所学概念纳入到相应的概念体系，形成一个整体

因为任何数学概念都不是孤立存在的，前后概念之间彼此联系密切，所以掌握概念必须在概念体系中把握。如在“抛物线的定义”教学中，教师引导学生将椭圆、双曲线与抛物线概念的本质属性进行比较，把焦点和相应准线相同的三种曲线在同一个图形中作出，使学生了解到三种曲线之间的逻辑关系，并把抛物线概念与椭圆、双曲线一起纳入到了圆锥曲线的概念体系中，形成一个整体。通过建立概念链或概念网络, 使学生深入理解数学概念的本质，从而使所学概念类化。

2、通过开放性问题与变式, 深入理解数学概念

数学概念形成之后，通过开放性问题,引导学生从不同角度理解概念。这将影响学生对数学概念的巩固，以及解题能力的形成。如在“等比数列”中设置问题：

例：已知是等比数列且公比为，请你构造出新的等比数列，并指出它们的公比。

变式：已知,是项数相同的等比数列，公比分别为，，请你构造出新的等比数列，并指出它们的公比。

通过学生的讨论与辨析，让学生对等比数列的概念有了一个更深入的理解与认识。

数学概念的深刻理解并牢固掌握, 其目的是为了能够灵活、正确地运用它, 同时, 在运用的过程中,又能更进一步地深化对数学概念的本质的理解。为此,在教学中应采用多种形式, 引导学生在运算、推理、证明及解决问题的过程中运用数学概念。

1、通过反例辩析，及时巩固概念

在中学数学教学中， 很多数学概念(如函数、函数的单调性、奇偶性的定义等)都采用正面阐述的形式，而这些重要概念是解题的基础，若学生对其本质属性含糊不清， 就会在解题过程中混淆、偷换概念， 造成解题失误。为了准确把握概念的本质，可以利用反例来加深对概念的理解。如：

例：下列图形中，不可能是函数的图象是(　　 )

通过观察、比较，同学们认识到：对于在某个范围内的每一个确定的值，按照某种对应法则，变量都是唯一确定的值和它对应，这才是构成函数关系的本质。所以只能选A。

又如在教学“导数”这一章时，教材中是用割线的极限位置来定义切线的，为此，可以提出以下问题：为什么不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线”? 直线与曲线相切, 是否一定只有一个公共点? 对于这两个问题都要通过构造反例进行研究，前一个问题的反例是:抛物线与轴、轴都只有一个公共点, 但只有轴是它的切线, 轴显然不是它的切线；或者与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线也只有一个公共点。但它也不是其切线，因此与曲线只有一个公共点的直线不一定是切线，它只符合圆、椭圆等一类曲线。后一个问题也可以举出下列反例，已知曲线C:。可求出曲线C上横坐标为2的点处的切线方程是，但它与曲线C的公共点除了切点外,还有另外一个公共点是(-4，)。通过此例可以说明:直线与曲线相切不一定只有一个公共点。当曲线是二次曲线时, 能够保证直线与曲线相切有且只有一个公共点。所以，若能举出恰当的反例加以说明, 会起到正面强调所无法发挥的强化作用, 使概念理解得更加深刻。

3、运用比较, 区分异同。许多数学概念, 由于表示它们的符号、词语和概念本身的含义相似, 可能产生概念间的互相干扰、互相混淆, 教学中应引导学生进行归类比较, 分析两种概念的从属关系, 区分它们的异同之处。如: 充分条件与必要条件; 排列与组合; 三棱锥与四面体; 否命题与命题的否定; 等等, 从而促进学生对概念的本质有更深刻的认识。

2、抓住要点, 促进概念的深化。揭示概念的内涵不仅由概念的定义完成, 还常常由定义所推出的一些定理、公式得到进一步揭示。如三角函数定义教学中, 同角三角函数关系式、诱导公式、三角函数值的符号规律、两角和与差的三角函数、 三角函数的图象和性质都是由定义推导出来的, 可使学生清楚地看到概念是学习其它知识的依据, 反过来又会使三角函数定义的内涵得到深刻揭示, 加深对概念的理解, 增强运用概念进行推理判断的思维能力。教学中应有意识地启发学生提高认识, 引导学生从概念出发, 逐步深入展开对它所反映的数学模式作深入的探究, 以求更深刻地认识客观规律。

数学概念是多结构、多层次的。理解和掌握数学概念, 应遵循由具体到抽象, 由低级到高级, 由简单到复杂的认知规律。因此, 一个数学概念的建立和形成, 应该通过学生的亲身体验、主动构建, 通过分析、比较、归纳等方式, 揭示出概念的本质属性, 形成完整的概念链, 从而加强学生分析问题, 解决问题的能力, 形成学生的数学思想。可以从以下几方面给予指导。

1、分析构成概念的基本要素。数学概念的定义是用精练的数学语言概括表达出来的, 在教学中, 抽象概括出概念后, 还要注意分析概念的定义, 帮助学生认识概念的含义。如为了使学生能更好地掌握函数概念, 我们必须揭示其本质特征, 进行逐层剖析。对定义的内涵要阐明三点：①、的对应变化关系。例如在“函数的表示方法”一节例4的教学，教师要讲明并强调每位同学的“成绩”与“测试时间”之间形成函数关系，使学生明白并非所有的函数都有解析式，由此加深学生对函数的“对应法则”的认识。②实质：每一个值，对应唯一的值，可例举函数讲解：，，都是函数，但、的对应关系不同，分别是一对一、二对一、多对一，从而加深对函数本质的认识。再通过图象显示，使学生明白，并非随便一个图形都是函数的图象，从而掌握能成为一个函数图象的图形的条件特征。③定义域，值域，对应法则构成函数的三素，缺一不可，但要特别强调定义域的重要性。由于学生学习解析式较早，比较熟悉，他们往往只关注解析式，忽略定义域而造成错误。为此可让学生比较我函数，，的不同并分别求值域，然后结合图象分析得出：三者大相径庭！强调解析式相同但定义域不同的函数决不是相同的函数。再结合分段函数和有实际意义的函数，以引导他们对实际问题的关注和思考。

4、 从数学本身发展需要引入概念

从数学内在需要引入概念也是引入数学概念的常用方法之一, 这样的例子随处可见。例如, 整个数学体系的建立过程就体现了这一点: 在小学里学习的“数”的基础上, 为解决“数”的减法中出现的问题, 必须引入负数概念。随着学习的深入,单纯的有理数已不能满足需要, 必须引入无理数。在实数范围内, 方程显然没有解, 为了使它有解, 就引入了新数i,它满足i²=-1，并且和实数一起可以按照通常的四则运算法则进行计算, 于是引入了复数的概念。

3、 用类比方法引入概念

当面对一个概念时, 如果学生没有直接相关的知识, 就可以通过类比的方法把不直接相关的知识经验运用到当前的问题中, 类比是引入新概念的一种重要方法。例如, 立体几何问题往往有赖于平面几何的类比，空间向量往往有赖于平面向量的类比。通过这样的类比教学和训练, 使学生对概念的认识有一个升华。

2、在学生思维矛盾中引入新概念

　　 由于学生利用旧有的知识解决问题产生困难，激发学生学习新知识的积极性。如在“分层抽样”的概念教学中，通过问题：一个单位有职工500人, 其中不到35岁的有125人, 35岁-49岁的有280人, 50岁以上的有95人, 为了解这个单位职工身体状况有关的某项指标, 从中抽取一个容量为l00的样本, 应如何抽取?在教师引导下, 学生经过讨论, 很快就达成共识: 简单随机抽样和系统抽样均不合理, 应寻求新的抽样方法。展示出新旧知识的矛盾, 从而引入解决该问题更为合理的抽样方法: 分层抽样。这样学生不仅能正确地理解分层抽样的定义, 而且还会发现这三种抽样方法的差异。