1.糖类的概念:
⑴概念: 。
⑵分类:
单糖: ;
低聚糖: ;
多糖: ;
⑶相互转化关系:(请用箭头表示相互转化关系)
多糖 ---- 二糖 --- 单糖
15.(2008·石家庄第二检测)在数列{an}中,a1=,并且对于任意n∈N*,且n>1时,都有an·an-1=an-1-an成立,令bn=(n∈N*).
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)(理)求数列{}的前n项和Tn,并证明Tn<-.
(文)求数列{}的前n项和Tn.
解:(1)当n=1时,b1==3,
当n≥2时,bn-bn-1=-==1,
∴数列{bn}是首项为3,公差为1的等差数列,
∴数列{bn}的通项公式为bn=n+2.
(2)(理)∵===(-),
∴Tn=+++…++
=[(1-)+(-)+(-)+…+(-)+(-)]=[-(+)]
=[-],
∵>=,
∴-<-,
∴Tn<-.
(文)∵===(-),
∴Tn=+++…++
=[(1-)+(-)+(-)+…+(-)+(-)]
=[-(+)]
=.
14.数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项an;
(2)求数列{nan}的前n项和Tn.
解:(1)∵an+1=2Sn,∴Sn+1-Sn=2Sn,∴=3.
又∵S1=a1=1,
∴数列{Sn}是首项为1、公比为3的等比数列,
Sn=3n-1(n∈N*).
当n≥2时,an=2Sn-1=2·3n-2 (n≥2),
∴an=
(2)Tn=a1+2a2+3a3+…+nan.
当n=1时,T1=1;
当n≥2时,Tn=1+4·30+6·31+…+2n·3n-2,①
3Tn=3+4·31+6·32+…+2n·3n-1,②
①-②得:
-2Tn=-2+4+2(31+32+…+3n-2)-2n·3n-1
=2+2·-2n·3n-1
=-1+(1-2n)·3n-1.
∴Tn=+(n-)·3n-1(n≥2).
又∵T1=a1=1也满足上式.
∴Tn=+3n-1(n-) (n∈N*).
13.(2009·湖州模拟)已知数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c(n∈N*),且S1=3,S2=7,S3=13,
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{}的前n项和Tn.
解(1)由已知有解得
所以Sn=n2+n+1.
当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=n2+n+1-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n,
所以an=
(2)令bn=,则b1==.
当n≥2时,bn==·(-).
所以Tn=b2+…+bn
=(-+-+…+-)
=.
所以Tn=+= (n∈N*).
12.求和:Sn=+++…+.
解:(1)a=1时,Sn=1+2+…+n=.
(2)a≠1时,Sn=+++…+①
Sn=++…++②
由①-②得
(1-)Sn=+++…+-
=-,
∴Sn=.
综上所述,Sn=.
11.(2009·重庆二测)设数列{an}为等差数列,{bn}为公比大于1的等比数列,且a1=b1=2,a2=b2,=.令数列{cn}满足cn=,则数列{cn}的前n项和Sn等于________.
答案:(n-1)·2n+1+2
解析:由题意可设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,根据题中两个等式列出两个关于d和q的方程,求出{an}的公差d,{bn}的公比q,从而求得{an}与{bn}的通项公式,进而求得{cn}的通项公式,再求{cn}的前n项和.
10.数列{an}的前n项和Sn=n2+1,数列{bn}满足:b1=1,当n≥2时,bn=abn-1,设数列{bn}的前n项和为Tn,则T2007=__________.
答案:22006+2006
解析:由题意得a1=2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+1)-[(n-1)2+1]=2n-1.由此可得,an≥2,当n≥2时,bn=abn-1≥2,b2=ab1=a1=2,当n≥2时bn=abn-1≥2.当n≥3时,bn-1≥2,bn=abn-1=2bn-1-1,bn-1=2(bn-1-1),bn-1=2n-2(b2-1)=2n-2,bn=2n-2+1(n≥2),因此T2007=1+2+(2+1)+(22+1)+…+(22005+1)=(1+2+22+…+22005)+2007=+2007=22006+2006.
9.+++…+等于________.
答案:
解析:因为原式=,
令T=+++…+,两边乘以得T=+++…+,
两式相减得T=++…+-,
则得T=3--=3-.
∴原式=.
8.(2009·湖北华师一附中4月模拟)已知数列{an}的通项公式是an=,Sn是数列{an}的前n项和,则与S98最接近的整数是( )
A.20 B.21
C.24 D.25
答案:D
解析:由已知得an==12(-),因此S98=12[(-)+(-)+…+(-)]=12(1+++----)=25-12(+++),因此与S98最接近的整数是25,选D.
7.(2009·南昌二模)数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=,则an=( )
A. B.
C. D.
答案:B
解析:令n=1,得a1=,排除A、D;再令n=2,得a2=,排除C,故选B.
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