5.若函数f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点,则实数a的取值范围是 ( )
A. (-2,2)? B. C.(-∞,-1) D.(1,+ ∞)
答案?A
4.f(x)=的零点个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.0
答案?A
3.设函数y=x3与y=(x-2的图象交点为(x0,y0),则x0所在的区间是 ( )
A.(0,1) B. (1,2) C.(2,3) D.(3,4)
答案?B
2.如图所示的函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中交点横坐标的是 ( )
A.①② B.①③ C.①④ D.③④
答案?B?
1.下列函数中在区间[1,2]上有零点的是 ( )
A.f(x)=3x2-4x+5 B.f(x)=x3-5x-5
C.f(x)=mx-3x+6? D.f(x)=ex+3x-6
答案?D
4.利用计算器,求方程lgx=3-x的近似解.(精确到0.1)
解 如图,由函数y=lgx与y=3-x的图象可以发现,方程lgx=3-x有唯一解,记为x1,
并且这个解在区间(2,3)内.
设f(x)=lgx+x-3,用计算器计算,得:
f(2)<0,f(3)>0x1∈(2,3)
f(2.5)<0,f(3)>0x1∈(2.5,3)
f(2.5)<0,f(2.75)>0x1∈(2.5,2.75),
f(2.5)<0,f(2.625)>0x1∈(2.5,2.625),
f(2.562 5)<0,f(2.625)>0x1∈(2.562 5,2.625).
因为2.625与2.562 5精确到0.1的近似值都为2.6,所以原方程的近似解为:x1≈2.6.
3.已知函数f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点比1大,一个零点比1小,求实数a的取值范围.
解 方法一 设方程x2+(a2-1)x+(a-2)=0的两根分别为x1,x2 (x1<x2),
则(x1-1)(x2-1)<0,∴x1·x2-(x1+x2)+1<0,
由韦达定理得(a-2)+(a2-1)+1<0,
即a2+a-2<0,∴-2<a<1.
方法二 函数的大致图象如图所示,
则有f(1)<0,即1+(a2-1)+a-2<0,
a2+a-2<0,∴-2<a<1.
2.已知函数f(x)=ax+ (a>1),判断f(x)=0的根的个数.
解 设f1(x)=ax (a>1),f2(x)=-,则f(x)=0的解即为f1(x)=f2(x)的解,即为函数f1(x)与f2(x)
图象交点的横坐标.在同一坐标系中,作出函数f1(x)=ax(a>1)与f2(x)=--1的图象
(如图所示).
两函数图象有且只有一个交点,即方程f(x)=0有且只有一个根.
1.求下列函数的零点:
(1)y=x3-7x+6;(2)y=x+-3.
解(1)∵x3-7x+6=(x3-x)-(6x-6)
=x(x2-1)-6(x-1)=x(x+1)(x-1)-6(x-1)
=(x-1)(x2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3)
解x3-7x+6=0,即(x-1)(x-2)(x+3)=0
可得x1=-3,x2=1,x3=2.
∴函数y=x3-7x+6的零点为-3,1,2.
(2)∵x+
解x+即=0,可得x=1或x=2.
∴函数y=x+-3的零点为1,2.
5.若函数f(x)=2x2-ax+3有一个零点为,则f(1)= .
答案 0
例1 判断下列函数在给定区间上是否存在零点.
(1)f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8];
(2)f(x)=x3-x-1,x∈[-1,2];
(3)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3].
解(1)方法一 因为f(1)=-20<0,f(8)=22>0,
所以f(1)·f(8)<0,故f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]存在零点.
方法二 令x2-3x-18=0,解得x=-3或6,
所以函数f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]存在零点.
(2)∵f(-1)=-1<0,f(2)=5>0,
∴f(x)=x3-x-1,x∈[-1,2]存在零点.
(3)∵f(1)=log2(1+2)-1>log22-1=0.
f(3)=log2(3+2)-3<log28-3=0.∴f(1)·f(3)<0
故f(x)=log2(x+2)-x在x∈[1,3]上存在零点.
例2 求函数y=lnx+2x-6的零点个数.
解 在同一坐标系画出y=lnx与y=6-2x的图象,
由图可知两图象只有一个交点,
故函数y=lnx+2x-6只有一个零点.
例3 (12分)(1)若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点,求实数a的值;
(2)若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点,求实数a的取值范围.
解(1)若a=0,则f(x)=-x-1,
令f(x)=0,即-x-1=0,得x=-1,故符合题意; 2分
若a≠0,则f(x)=ax2-x-1是二次函数,
故有且仅有一个零点等价于Δ=1+4a=0,
解得a=-, 4分
综上所述a=0或a=-. 6分
(2)若f(x)=|4x-x2|+a有4个零点,
即|4x-x2|+a=0有四个根,即|4x-x2|=-a有四个根. 8分
令g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a.
作出g(x)的图象,由图象可知如果要使|4x-x2|=-a有四个根,
那么g(x)与h(x)的图象应有4个交点. 10分
故需满足0<-a<4,即-4<a<0.
∴a的取值范围是(-4,0). 12分
例4 用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确度0.1).
解 由于f(1)=1-1-1=-1<0,f(1.5)=3.375-1.5-1=0.875>0,
∴f(x)在区间[1,1.5]上存在零点,
取区间[1,1.5]作为计算的初始区间,
用二分法逐次计算列表如下:
l
端(中)点 l 坐标 |
l
中点函数值 l 符号 |
l
零点所在区间 |
l
|an-bn| |
l
|
l
|
l
|
l
0.5 |
l
1.25 |
l
f(1.25)<0 |
l
|
l
0.25 |
l
1.375 |
l
f(1.375)>0 |
l
|
l
0.125 |
l
1.312 5 |
l
f(1.312 5)<0 |
l
|
l
0.062 5 |
∵|1.375-1.312 5|=0.062 5<0.1,
∴函数的零点落在区间长度小于0.1的区间[1.312 5,1.375]内,故函数零点的近似值为1.312 5.
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