6.某商店计划投入资金20万元经销甲、乙两种商品,已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P(万元)和Q(万元),且它们与投入资金x(万元)的关系是:P=,Q=(a>0).若不管资金如何投放,经销这两种商品或其中一种商品所获得的纯利润总和不少于5万元,则a的最小值应为 ( )
A. B.5 C. D.-
答案 A
5.某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据检测,服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的关系用如图所示曲线表示.据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时,治疗疾病有效,则服药一次治疗该疾病有效的时间为(小时)为 ( )
A.4 B. 4
C. 4 D.5
答案?C
4.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3 000+20x-0.1x2,x∈(0,240),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量为 ( ).
A. 100台 B.120台 C.150台 D.180台
答案 C
3.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示,下列四种说法:
①前三年中,产量增长的速度越来越快;
②前三年中,产量增长的速度越来越慢;
③第三年中,产品停止生产;
④第三年中,这种产品产量保持不变.
其中说法正确的是 ( )
A.②与③ B.②与④ C.①与③ D.①与④
答案?A
2.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,
现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,
当截取的矩形面积最大时,矩形两边长x,y应为 ( )
A. x=15,y=12 B.x=12,y=15 C. x=14,y=10 D. x=10,y=14
答案 A
1.某机床在生产中所需垫片可以外购,也可自己生产,其中外购的单价是每个1.10元,若自己生产,则每月需投资固定成本800元,并且每生产一个垫片还需材料费和劳务费共0.60元.设该厂每月所需垫片x个,则自己生产垫片比外购垫片较合算的条件是 ( )
A.x>1 800 B.x>1 600 C.x>500 D.x>1 400
答案 B
3.某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件.为了估测以后每个月的产量,以这三个月的产品数量为依据,用一个函数模型来模拟该产品的月产量y与月份数x的关系.模拟函数可以选用二次函数f(x)或函数g(x)=abx+c(其中a、b、c为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件.请问用以上哪个函数作为函数模型较好?并说明理由.
解 设f(x)=px2+qx+r(p≠0),则有
解得p=-0.05,q=0.35,r=0.7.
∴f(4)=-0.05×42+0.35×4+0.7=1.3.
又
解得a=-0.8,b=0.5,c=1.4.
∴g(4)=-0.8×0.54+1.4=1.35.
经比较可知,用g(x)=-0.8×(0.5)x+1.4作为模拟函数较好.
2.某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元,但每生产100台,需要加可变成本(即另增加投入)0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台,销售的收入函数为R(x)=5x-(万元)(0≤x≤5),其中x是产品售出的数量(单位:百台).
(1)把利润表示为年产量的函数;
(2)年产量是多少时,工厂所得利润最大?
(3)年产量是多少时,工厂才不亏本?
解 (1)当x≤5时,产品能售出x百台;
当x>5时,只能售出5百台,
故利润函数为L(x)=R(x)-C(x)
=
(2)当0≤x≤5时,L(x)=4.75x--0.5,
当x=4.75时,L(x)max=10.781 25万元.
当x>5时,L(x)=12-0.25x为减函数,
此时L(x)<10.75(万元).∴生产475台时利润最大.
(3)由
得x≥4.75-=0.1(百台)或x<48(百台).
∴产品年产量在10台至4 800台时,工厂不亏本.
1.某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时,每天可卖出100个,现在他采用提高售价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品销售单价每涨1元,销售量就减少10个,问他将售价每个定为多少元时,才能使每天所赚的利润最大?并求出最大值.
解 设每个提价为x元(x≥0),利润为y元,每天销售总额为(10+x)(100-10x)元,
进货总额为8(100-10x)元,
显然100-10x>0,即x<10,
则y=(10+x)(100-10x)-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)2+360 (0≤x<10).
当x=4时,y取得最大值,此时销售单价应为14元,最大利润为360元.
4.某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元,并且每生产一单位产品,成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数,K(Q)=40Q-Q2,则总利润L(Q)的最大值是 万元.
答案 2 500
例1如图所示,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(b<a),在AB,AD,CD,CB上分别截取AE,AH,CG,CF都等于x,当x为何值时,四边形EFGH的面积最大?并求出最大面积.
解 设四边形EFGH的面积为S,
则S△AEH=S△CFG=x2,
S△BEF=S△DGH=(a-x)(b-x),
∴S=ab-2[2+(a-x)(b-x)]
=-2x2+(a+b)x=-2(x-2+
由图形知函数的定义域为{x|0<x≤b}.
又0<b<a,∴0<b<,若≤b,即a≤3b时,
则当x=时,S有最大值;
若>b,即a>3b时,
S(x)在(0,b]上是增函数,
此时当x=b时,S有最大值为
-2(b-)2+=ab-b2,
综上可知,当a≤3b,x=时,
四边形面积Smax=,
当a>3b,x=b时,四边形面积Smax=ab-b2.
例2据气象中心观察和预测:发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度
v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示,过线段OC上一点T(t,0)作横轴
的垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过
的路程s(km).
(1)当t=4时,求s的值;
(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来;
(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650 km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城?如果不会,请说明理由.
解 (1)由图象可知:
当t=4时,v=3×4=12,
∴s=×4×12=24.
(2)当0≤t≤10时,s=·t·3t=t2,
当10<t≤20时,s=×10×30+30(t-10)=30t-150;
当20<t≤35时,s=×10×30+10×30+(t-20)×30-×(t-20)×2(t-20)=-t2+70t-550.
综上可知s=
(3)∵t∈[0,10]时,smax=×102=150<650.
t∈(10,20]时,smax=30×20-150=450<650.
∴当t∈(20,35]时,令-t2+70t-550=650.
解得t1=30,t2=40,∵20<t≤35,
∴t=30,所以沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城.
例3(12分)1999年10月12日“世界60亿人口日”,提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题,控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.
(1)世界人口在过去40年内翻了一番,问每年人口平均增长率是多少?
(2)我国人口在1998年底达到12.48亿,若将人口平均增长率控制在1%以内,我国人口在2008年底至多有多少亿?
以下数据供计算时使用:
l
数N |
l
1.010 |
l
1.015 |
l
1.017 |
l
1.310 |
l
2.000 |
l
对数lgN |
l
0.004 3 |
l
0.006 5 |
l
0.007 3 |
l
0.117 3 |
l
0.301 0 |
l
数N |
l
3.000 |
l
5.000 |
l
12.48 |
l
13.11 |
l
13.78 |
l
对数lgN |
l
0.477 1 |
l
0.699 0 |
l
1.096 2 |
l
1.117 6 |
l
1.139 2 |
解 (1)设每年人口平均增长率为x,n年前的人口数为y,
则y·(1+x)n=60,则当n=40时,y=30,
即30(1+x)40=60,∴(1+x)40=2, 4分
两边取对数,则40lg(1+x)=lg2,
则lg(1+x)==0.007 525,
∴1+x≈1.017,得x=1.7%. 8分
(2)依题意,y≤12.48(1+1%)10?,
得lgy≤lg12.48+10×lg1.01=1.139 2,
∴y≤13.78,故人口至多有13.78亿. 11分
答 每年人口平均增长率为1.7%,2008年底人口至多有13.78亿. 12分
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