148. 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起， 使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BC--C的大小。 　 这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在 于搞清折叠前后“变”与“不变”。结果在平面图形中过A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，则折叠后OA、OE与BD的垂直关系不变。但OA与OE此时变成相交两线段并确定一平面，此平面必与棱垂直。由特征Ⅱ可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角，即为所求二面角的平面角。另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC上,所以E点就是A′，这样的定位给下面的定量提供了优质服务。事实上，AO=AB·AD/BD=3*4/5=12/5，OA′=OE=BO·tgc∠CBD，而BO=AB2/BD=9/5, tg∠CBD，故OA′=27/20。在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°所以cos∠AOA′=A′O/AO=9/16，ty∠AOA′=arccos9/16即所求的二面arccos9/16。 149. 将边长为的正方形沿对角线折起，使得，则三棱锥-的体积为　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A. 　　　　　　B. 　　　　　　　C. 　　　　　 D.

D

解析：取BD的中点为O，BD⊥平面OAC，，则=。选D

147. 已知Rt△ABC的两直角边AC=2，BC=3，P为斜边上一 点，沿CP将此直角三角形折成直二面角A-CP-B，当AB=71/2时，求二面角P-AC-B的大小。 　 作法一：∵A-CP-B为直角二面角， ∴过B作BD⊥CP交CP的延长线于D，则BD⊥DM APC。 ∴过D作DE ⊥AC，垂足为E，连BE。 ∴∠DEB为二面角A-CP-B的平面角。 作法二：过P点作PD′⊥PC交BC于D′，则PD′⊥面APC。 ∴过D′作D′E′⊥AC，垂足为E′，边PE′， ∴∠D′E′P为二面角P-AC-B的平面角。

146. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，ABC=90⁰，AB=a,AD=3a,sinADC=,又PA⊥平面ABCD，PA=a，求二面角P-CD-A的大小。(答案：arctg)

145. 如图，平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面为正方形，点A₁在底面的射影O在AB上，已知侧棱A₁A与底面ABCD成45⁰角，A₁A=a。求二面角A₁-AC-B的平面角的正切值。(答案：)

144. 如图，梯形ABCD中，BA⊥AD，CD⊥AD，AB=2，CD=4，P为平面ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，△PBC是边长为10的正三角形，求平面PAD与面PBC所成的角.

解法一：如图，延长DA、CB交于E，＝＝，∴AB是△ECD的中位线，CB＝BE＝10.又△PCB为正△，易证△PCE为直角三角形，PE⊥PC.又平面PDA⊥平面ABCD，且CD⊥交线DA，∴CD⊥平面PDE.PE是PC在平面PDE内的射影，∴PE⊥PD(三垂线定理的逆定理).故∠CPD是D-PE-C的平面角.在Rt△CDP中，sin∠DPC＝＝，故二面角大小为arcsin.

解法二：利用Scosθ＝S′.如右图，

平面PAD⊥平面ABCD

CD⊥AD，BA⊥AD

BA⊥平面PAD

CD⊥平面PAD

△PAD是△PBC在平面PDA内的射影.设面PDA与面PCB所成的二面角为θ，则S_△PDA＝S_△PCB·cosθ.Rt△PAB中，PA＝4＝AD；Rt△PDC中，PD＝2.

∴△PAD为等腰三角形且S_△PAD＝PD·AH＝15.

cosθ＝＝＝，

θ＝arccos＝.

143. 如图，在平面角为60⁰的二面角-l-内有一点P，P到、分别为PC=2cm,PD=3cm,则垂足的连线CD等于多少？(2)P到棱l的距离为多少？

解析：对于本题若这么做：过C在平面内作棱l的垂线，垂足为E，连DE，则CED即为二面角的平面角。这么作辅助线看似简单，实际上在证明CED为二面角的平面角时会有一个很麻烦的问题，需要证明P、D、E、C四点共面。这儿，可以通过作垂面的方法来作二面角的平面角。

解：∵PC、PD是两条相交直线，

∴PC、PD确定一个平面，设交棱l于E，连CE、DE。

∵PC⊥，　　 ∴PC⊥l,

又∵PD⊥，∴PD⊥l。

∴l⊥平面，则l⊥CE、DE，故CED即为二面角的平面角，即CED=60⁰。

∴CPD=120⁰，△PCD中，PD=3，PC=2，由余弦定理得CD=cm。由PD⊥DE，PC⊥CE可得P、D、E、C四点共圆，且PE为直径，由正弦定理得PE=2R===cm。

说明：三垂线定理及其逆定理是作二面角的平面角的最主要的方法，要引起重视。

142. 如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，E是CC₁的中点，求二面角B-B₁E-D的余弦值。

解析：图中二面角的二个半平面分别为△DEB₁所在的半平面和△BEB₁所在的半平面，即正方体的右侧面，它们的交线即二面角的棱B₁E。不难找到DC即为从其中的一个半平面出发，并且垂直于另一个半平面的直线。

解： 由题意可得直线DC平面BEB₁，且垂足为C，过C作CFB₁E于F(如图，F在B₁E的延长线上)，连DF，则由三垂线定理可得DFC即二面角的平面角。

△B₁C₁E~△CFE，∴CF=；DF=

∴cosDFC=。

即二面角的平面角的余弦值为。

141. 已知菱形ABCD边长为a，且其一条对角线BD＝a，沿对角线BD将折起所在平面成直二面角，点E、F分别是BC、CD的中点。

　　 (1)求AC与平面AEF所成的角的余弦值

　　 (2)求二面角A－EF－B的正切值。

　　 (1) 解析：：菱形ABCD的对角线，

，中位线EF//BD，可知面AOC，，故面，这样AC在面AEF内的射影就是AG，就是AC与平面AEF的成角，解三角形AOC可得。

　　 (2)分析：由前一小问的分析可知，

就是二面角A－EF－B的平面角，在中，，，。

140. 三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BAC=90⁰，AB=BB₁=1，直线B₁C与平面ABC成30⁰角，求二面角B-B₁C-A的正弦值。

解析：可以知道，平面ABC与平面BCC₁B₁垂直，故可由面面垂直的性质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂线。

解：由直三棱柱性质得平面ABC平面BCC₁B₁，过A作AN平面BCC₁B₁，垂足为N，则AN平面BCC₁B₁，(AN即为我们要找的垂线)在平面BCB₁内过N作NQ棱B₁C，垂足为Q，连QA，则NQA即为二面角的平面角。

∵AB₁在平面ABC内的射影为AB，CAAB，∴CAB₁A，AB=BB₁=1，得AB₁=。∵直线B₁C与平面ABC成30⁰角，∴B₁CB=30⁰，B₁C=2，Rt△B₁AC中，由勾股定理得AC=，∴AQ=1。在Rt△BAC中，AB=1，AC=，得AN=。

sinAQN==。即二面角B-B₁C-A的正弦值为。

139. 在三棱锥P-ABC中， 　 APB=BPC=CPA=60⁰，求二面角A-PB-C的余弦值。

解析：在二面角的棱PB上任取一点Q，在半平面PBA和半平面PBC上作QMPB，QNPB，则由定义可知MQN即为二面角的平面角。

设PM=a,则在RtPQM和RtPQN中可求得QM=QN=a；

又由PQNPQM得PN=a,故在正PMN中MN=a,在MQN中由余弦定理得cosMQN=，即二面角的余弦值为。