209. 长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB₁与A₁D所成的角为α，AC与BC₁所成的角为β，A₁C₁与CD₁所成的角为γ。 求证：α+β+γ＝π

解析：作如图的辅助线 则∠AB₁C为AB₁与A₁D所成的角∠AB₁C＝α ∵ABA₁B₁C₁D₁ ∴BC₁//AD₁，故∠D₁AC为AC与BC₁所成的角∠D₁AC＝β ∵AA₁DD₁CC₁，∴A₁C₁//AC ∴∠D₁CA即为A₁C₁与CD₁所成的角∠D₁CA＝γ 在△ACD₁和△ACB₁中，AB₁＝CD₁，B₁C＝D₁A，AC＝CA ∴△ACD₁≌△CAB₁，故∠AB₁C＝∠AD₁C，故∠AD₁C＝α 在△AD₁C中，∠AD₁C+∠D₁CA+∠D₁AC＝π 即：α+β+γ＝π

208. a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题， ①　②　　　③ ④　⑤　　⑥　 其中正确的命题是(　) 　A. ①②③　　 　B. ①④⑤　　 C. ①④　　 D.　①④⑤⑥

解析： 首先要判断每个命题的真假，错误的命题只需给出一个反例。

解答: ①三线平行公理， ②两直线同时平行于一平面，这二直线可相交，平行或异面 ③二平面同时平行于一直线这两个平面相交或平行

④面面平行传递性，

⑤一直线和一平面同时平行于另一直线，这条直线和平面可平行或直线在平面内，

⑥一直线和一平面同时平行于另一平面，这直线和平面可平行也可能直线在平面内，

故①④正确 ∴应选C。

207. 如图2－33：线段PQ分别交两个平行平面α、β于A、B两点，线段PD分别交α、β于C、D两点，线段QF分别交α、β于F、E两点，若PA＝9，AB＝12，BQ＝12，ACF的面积为72，求BDE的面积。

解析： 求BDE的面积，看起来似乎与本节内容无关，事实上，已知ACF的面积，若BDE与ACF的对应边有联系的话，可以利用ACF的面积求出BDE的面积。 (提示：①ABC的两条邻边分别长为a、b，夹角为θ，则ABC的面积S＝absinθ,②sinα=sin(180°-α)

解答:∵平面QAF∩α＝AF，平面QAF∩β＝BE，又∵α∥β，∴AF∥BE 同理可证：AC//BD，∴∠FAC与∠EBD相等或互补，即sin∠FAC= sin∠EBD. 由 AF∥BE，得，∴BE＝AF 由BD//AC，得：，∴BD＝AC 又∵ACF的面积为72，即AF·AC·sin∠FAC＝72，

∴＝ BE·BD·sin∠EBD 　　＝· AF·AC·sin∠FAC 　　＝· AF·AC·sin∠FAC＝×72＝84 ∴BDE的面积为84平方单位。

206. 已知(如图)：三棱锥P-ABC中，异面直线PA与BC所成的角为，二面角P-BC-A为，△PBC和△ABC的面积分别为16和10，BC＝4.

求：(1)PA的长；(2)三棱柱P-ABC的体积

解析：

(1)作AD⊥BC于D，连PD，由已知PA⊥BC，∴BC⊥面PAD，∴BC⊥PD，∴∠PDA为二面角的平面角，∴∠PDF＝，

可算出PD＝8，AD＝5，∴PA＝7;(2)V＝

205. 已知正三棱柱ABC-的底面边长为8，侧棱长为6，D为AC中点，

(1)求证：AB₁∥平面C₁DB；(2)求异面直线AB₁与BC₁所成角的余弦值.

(1) 解析：连B₁C交BC₁于E，连结ED，则AB₁∥DE，由线面平行定理得AB₁∥平面BDC₁；(2)∵AB₁∥DE，∴DE与BC₁所成锐角就是异面直线AB₁与BC₁所成的角，又BD⊥DC，在Rt△BDC₁中，

易知BE＝BC₁＝5，DE＝5，BD＝，在△BDE中，∠BED＝，∴异面直线AB₁与BC₁所成角的余弦值为

204. 如图：D、E是是等腰直角三角形ABC中斜边BC的两个三等分点，沿AD和AE将△ABD和△ACE折起，使AB和AC重合，求证：平面ABD⊥平面ABE.

解析：过D作DF⊥AB交AB于F，连结EF，计算DF、EF的长，又DE为已知，三边长满足勾股定理，∴∠DFE＝；

203. 在RtΔABC中，AB＝BC，E、F分别是AC和AB的中点，以EF为棱把它折成大小为β的二面角A-EF-B后，设∠AEC＝α，

求证：2cosα-cosβ＝-1.

解析：∠AFB＝β.可证：BC⊥AB，然后利用AC²＝BC²+AB²即可证得.

202. 正四面体棱长为a，求其内切球与外接球的表面积。

解析：设正四面体的面BCD和面ACD的中心分别为 ，连结与并延长，必交于CD的中点E，又，，连接，在Rt△中，连结与交于，由Rt△Rt△，∴，同理可证到另二面的距离也等，

∴为四面体外接球与内接球的球心，由△∽△，∴，

∴

201. ．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=AC=2，求球的体积。

解析：过A、B、C三点截面的小圆的半径就是正△ABC的外接圆的半径，

它是Rt△中所对的边，其斜边为，即球的半径为，∴；

200. A、B为球面上相异的两点，则通过A、B可作大圆(　 )

A.一个　　　　 B.无穷多个　　　 C.零个　　　　 D.一个或无穷多个

解析：D

当A，B点在球直径上，，这样的大圆有无数个，当不在球直径上，与球心O三个点唯一确定一个平面。