0  419727  419735  419741  419745  419751  419753  419757  419763  419765  419771  419777  419781  419783  419787  419793  419795  419801  419805  419807  419811  419813  419817  419819  419821  419822  419823  419825  419826  419827  419829  419831  419835  419837  419841  419843  419847  419853  419855  419861  419865  419867  419871  419877  419883  419885  419891  419895  419897  419903  419907  419913  419921  447090 

230. 判断题:正确的在括号内打“√”号,不正确的打“×”号

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229.如图:在正方体ABCD-EFGH中,M、N、P、Q、R、S分别是AE、EH、EF、CG、BC、CD的中点,求证:平面MNP//平面QRS。 解析:先证明SR//BD,BD//HF,HF//NP, ∴SR//平面MNP,再证RO//平面MNP, 从而证明平面MNP//平面QRS

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228. 如图:在正方体ABCD-EFGH中,求证:平面AFH//平面BDG。 解析:易证BD//平面AHF,BG//平面AHF, ∴平面BDG//平面AHF。

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227.如图2-24:B为ACD所在平面外一点,M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心, (1)求证:平面MNG//平面ACD; (2)求

解析:(1)要证明平面MNG//平面ACD,由于M、N、G分别 为△ABC、△ABD、△BCD的重心,因此可想到利用重心的性 质找出与平面平行的直线。

证明:连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H。 ∵M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心, 则有: 连结PF、FH、PH有MN∥PF,又PF平面ACD,∴MN∥平面ACD。 同理:MG∥平面ACD,MG∩MN=M, ∴平面MNG∥平面ACD

(2)分析:因为△MNG所在的平面与△ACD所在的平面相互平行,因此,求两三角形的面积之比,实则求这两个三角形的对应边之比。 解:由(1)可知, ∴MG=PH,又PH=AD,∴MG=AD 同理:NG=AC,MN=CD, ∴MNG∽ACD,其相似比为1:3, ∴=1:9

点评:立体几何问题,一般都是化成平面几何问题,所以要重视平面几何。比如重心定理,三角形的三边中线交点叫做三角形有重心,到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍。

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226. 如图2-23:已知正方体ABCD-A1B1C1D1,求证:平面AB1D1//平面BDC1

解析:要证明两个平面平行,由面面平行的判定定理知,须在某一平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线

证明:∵ABC1D1,C1D1A1B1,∴AD1//BC1∴AB A1B1, ∴四边形ABC1D1为平行四边形,又AD1平面AB1D1,BC1平面AB1D1,∴BC1//平面AB1D1,同理,BD//平面AB1D1,又BD∩BC1=B, ∴平面AB1D1//平面BDC1

点评:证面面平行,通常转化为证线面平行,而证线面平行又转化为证线线平行,所以关键是证线线平行。

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225.如图2-32:平面EFGH分别平行于CD、AB,E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上,且CD=a,AB=b,CD⊥AB (1)求证:EFGH是矩形

(2)点E在什么位置时,EFGH的面积最大

(1)证明:∵CD//平面EFGH,而平面EFGH∩平面BCD=EF ∴CD//EF,同理HG//CD,∴EF// HG,同理HE//GF, ∴四边形EFGH为平行四边形,由CD//EF,HE// AB, ∴∠HEF为CD和AB所成的角 又∵CD⊥AB,∴HE⊥EF ∴四边形EFGH为矩形 (2)解:由(1)可知在BCD中EF//CD,设DE=m,EB=n

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224. 如图2-31:设a、b是异面直线,A∈a,B∈b,AB⊥a,AB⊥b,过AB的中点O作平面α与a、b分别平行,M、N分别是a、b上任意两点,MN与α交于点P, 求证:P是MN的中点。   证明:连结AN,交平面α于点Q,连结PQ,OQ。 ∵ b//α,b平面ABN,平面ABN∩α=OQ, ∴b// OQ,又O为AB有中点,∴Q为AN的中点。 ∵a//α,a 平面AMN,平面AMN∩α=PQ, ∴a// PQ, ∴P是MN的中点。

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223. 如图2-29:四面体A-BCD被一平面所截,截面EFGH是一个矩形, (1)求证:CD//平面EFGH; (2)求异面直线AB、CD所成的角。  证明:(1)∵截面EFGH是一个矩形, ∴EF//GH,又GH平面BCD ∴EF//平面BCD,而EF平面ACD,面ACD∩面BCD=CD ∴EF// CD,∴CD//平面EFGH 解:(2)则(1)知EF// CD,同理AB//FG, 由异面直线所成角的定义知∠EFG即为所求的角。 ∴AB、CD所成的角为90°

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222. 求证:一条直线与两个相交平面都平行,则这条直线与这两个相交平面的交线平行。 已知:如图:a//α,a//β,α∩β=b,求证:a//b

解析:  本题可利用线面平行的性质定理来证明线线平行。

证明:   如图2-28,过a作平面γ、δ,使得γ∩α=c,δ∩β=d,那么有  

点评:  本题证明过程,实际上就是不断交替使用线面平行的判定定理、性质定理及公理4的过程。这是证明线线平行的一种典型的思路。

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221. 如图2-63,已知平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ。α∩γ=a,β∩γ=b且a∥b,求证α∥β。 证明:在平面γ内作直线c⊥a,      ∵a∥b,∴c⊥b。   ∵α⊥γ,∴c⊥α,   又∵β⊥γ,∴c⊥β,   ∴α∥β

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