396. 正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为a，在侧棱BB₁上截取BD=，在侧棱CC₁上截取CE=a，过A、D、E作棱柱的截面ADE

　 (1)求△ADE的面积；(2)求证：平面ADE⊥平面ACC₁A₁。

解析：分别在三个侧面内求出△ADE的边长

AE=a，AD=a，DE=

∴ 截面ADE为等腰三角形

　 S=

　 (2)∵ 底面ABC⊥侧面AA₁C₁C

∴ △ABC边AC上的高BM⊥侧面AA₁C₁C

下设法把BM平移到平面AED中去

取AE中点N，连MN、DN

∵ MNEC，BDEC

∴ MNBD

∴ DN∥BM

∴ DN⊥平面AA₁C₁C

∴ 平面ADE⊥平面AA₁C₁C

395. 已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90⁰，∠BAC=30⁰，BC=1，AA₁=，M为CC₁中点，求证：AB₁⊥A₁M。

解析：因结论是线线垂直，可考虑用三垂线定理或逆定理

∵ ∠ACB=90⁰

∴ ∠A₁C₁B₁=90⁰

即B₁C₁⊥C₁A₁

又由CC₁⊥平面A₁B₁C₁得：CC₁⊥B₁C₁

∴ B₁C₁⊥平面AA₁C₁C

∴ AC₁为AB₁在平面AA₁C₁C的射影

由三垂线定理，下证AC₁⊥A₁M即可

在矩形AA₁C₁C中，AC=A₁C₁=，AA₁=CC₁=

∵ ，

∴

∴ Rt△A₁C₁M∽Rt△AA₁C₁

∴ ∠1=∠2

又∠2+∠3=90⁰

∴ ∠1+∠3=90⁰_­

∴ AC₁⊥A₁M

∴ AB₁⊥A₁M

评注：利用三垂线定理的关键是找到基本面后找平面的垂线

394. 如右图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁C₁⊥BC₁，AB⊥AC，AB=3，AC=2，侧棱与底面成60°角。

(1)求证：AC⊥面ABC₁；

(2)求证：C₁点在平面ABC上的射影H在直线AB上；

(3)求此三棱柱体积的最小值。

解析：(1)由棱柱性质，可知A₁C₁//AC

　　　　　　 ∵A₁C₁BC₁，　

　　　　　　 ∴ACBC₁，又∵ACAB，∴AC平面ABC₁

　　　　 (2)由(1)知AC平面ABC₁，又AC平面ABC，∴平面ABC平面ABC₁

　　　　　　　 在平面ABC₁内，过C₁作C₁HAB于H，则C₁H平面ABC，故点C₁在平面ABC上

　　　　　　　 的射影H在直线AB上。

　　　　 (3)连结HC，由(2)知C₁H平面ABC，

　　　　　　　 ∴∠C₁CH就是侧棱CC₁与底面所成的角，

　　　　　　　 ∴∠C₁CH=60°，C₁H=CH·tan60°=

　　　　　　　 V_棱柱=

　　　　　　　 ∵CAAB，∴CH，所以棱柱体积最小值3。

393. 正四棱锥的一个对角面与一个侧面的面积之比为，求侧面与底面所成的角的大小。

解析：如图，正四棱锥P-ABCD的一个对角面△PAC。设棱锥的底面边长为a，高为h，斜高为h′，底面中心为O，连PO，则PO⊥底面ABCD，∴PO⊥AC，在△PAC中，AC=，PO=h，

　　　　 ∴

　　　　 在△PBC中，°

　　　　 ∴

　　　　 ∴h:h′=.

　　　　 取BC中点E，连OE，PE，可证∠PEO即为侧面与底面所成两面角的平面角。

　　　　 在Rt△POE中，sin∠PEO=，

　　　　 ∴∠PEO=，即侧面与底面所成的角为.

392. 如图，BCD是等腰直角三角形，斜边CD的长等于点P到BC的距离，D是P在平面BCD上的射影．(1)求PB与平面BCD所成角；(2)求BP与平面PCD所成的角

解析：(1)PD⊥平面BCD，∴BD是PB在平面BCD内的射影，∴∠PBD为PB与平面BCD所成角,BD⊥BC,由三垂线定理得BC⊥BD，∴BP=CD，设BC=a，则BD=a，BP=CD=a∴在Rt△BPD中，

cos∠DBP= ∴∠DBP=45°, 即PB与平面BCD所成角为45°．

　 (2)过B作BE⊥CD于E，连结PE，PD⊥平面BCD得PD⊥BE，∴BE⊥平面PCD，

∴∠BPE为BP与平面PCD所成的角,在Rt△BEP中，BE=a, BP=a,∴∠BPE=30°　 即BP与平面PCD所成角为30°．

391. 如图，△ABC为锐角三角形，PA⊥平面ABC，A点在平面PBC上的射影为H，求：H不可能是△PBC的垂心．

解析：连结CH，则CH是AC在平面PBC内的射影，若H为垂心，则CH⊥PB，由三垂线定理得AC⊥PB，又PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，∴AC⊥平面PAB，从而AC⊥AB与△ABC为锐角三

角形矛盾，故H不可能是垂心．

390. 已知α∩β=C，a∥b,aα,bβ,Aa,AE⊥b于E，AF⊥c于F，求证：a⊥EF

解析：b∥a,b,aα, ∴b∥α

又bβ，α∩β=c　 ∴b∥c, 又AF⊥c ∴AF⊥b

　　 又AE⊥b, AE∩AF=A　 ∴b⊥平面AEF 　a∥b　 ∴a⊥平面AEF

EF平面AEF　 ∴a⊥EF

389. 设P点在正三角形ABC所在平面外，且AP，BP，CP两两垂直；又是的重心；为上一点，；为上一点，；，如图

(1)求证：GF⊥平面PBC；(2)求证：EF⊥BC。

解析：(1)连结BG并延长交PA于M.G为△ABP的重心

注　 要充分注意平面几何中的知识(如本题中三角形重心性质，等腰三角形性质等)在证题中的运用。

388. 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD是边长等于2cm的等边三角形，底面ABCD是面积为2cm²的菱形，∠ADC是锐角.

求证：PA⊥CD

证明：设∠ADC=θ，则：由S_ABCD=2, CD=BC=AB=AD=2，易得θ=60°

∴△ACD是等边三角形，取CD中点E连AE、PE，则AE⊥CD，PE⊥CD

AE⊥CD，PE⊥CD　 ∴CD⊥平面PAE　　 ∴CD⊥PA

387. 如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．

(1)　　　　　 求证：MN⊥CD；

(2)　　　　　 若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD．

证明　(1)连AC∩BD＝O，连NO，MO，则NO∥PA．

∵PA⊥平面ABCD，∴NO⊥平面ABCD．

∵MO⊥AB，∴MN⊥AB，而CD∥AB，∴MN⊥CD；

(2)∵∠PDA＝45°，∴PA＝AD，

由△PAM≌△CBM得PM＝CM，

∵N为PC中点，∴MN⊥PC．

又MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面PCD．