435.　 圆柱形容器的内壁底半径为5cm，两个直径为5cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器内的水面将下降　　 　　cm.

解析：球的体积等于它在容器中排开水的体积.

解：　 设取出小球后，容器水平面将下降hcm，两小球体积为V_球＝2×π×5²×h,V₁＝　 V_球

即　 25πh＝π　 ∴h＝cm.

∴应填.

434.　 在球面上有四个点P、A、B、C.如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a,那么这个球的表面积是　 　　　.

解析：由已知可得PA、PB、PC实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直径，连结过点C的一条对角线CD，则CD过球心O，对角线CD＝a.

∴S_球表面积＝4π·(a)²＝3πa².

433.　 长方体的一个顶点上的三条棱分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是(　　 )

A.20π　　　　　 B.25π　　　　　 C.50π　　　　　 D.200π

解析： 正方体的对角线为l，球的半径为R，则l＝2R.

得：l²＝4R²＝3²+4²+5²＝50

从而　 S_球＝4πR²＝50π

∴应选C.

432.　 已知球面上A、B、C三点的截面和球心的距离都是球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球表面积是(　　 )

A.π　　　　 B.π　　　　　 C.4π　　　　　 D.π

解析： 如图，过ABC三点的截面圆的圆心是O′，球心是O，连结AO′、OO′，则OO′⊥　　　 AO′.ΔABC中，AB＝BC＝CA＝2，故ΔABC为正三角形.

∴AO′＝×2＝

设球半径为R，则OA＝R，OO′＝

在RtΔOAO′中，OA²＝O′O²+O′A²，即R²＝+()²

∴R＝

∴球面面积为4πR²＝π

∴应选A.

说明 　因为R＝OA＞O′A＞AB＝1，所以球面积S＝4πR²＞4π.从而选A.

431.　 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为(　　 )

A.4 　　　　B.2　　　　 C.2　　　　　 D.

解析： 设球半径为R，小圆半径为r，则2πr＝4π,∴r＝2.如图，设三点A、B、C，O为球心，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝，又∵OA＝OB

∴ΔAOB是等边三角形

同理，ΔBOC、ΔCOA都是等边三角形，得ΔABC为等边三角形.

边长等于球半径R，r为ΔABC的外接圆半径.

r＝AB＝R

R＝r＝2

∴应选B.

2.在球心的同一侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积各为49πcm²和400πcm².求球的表面积.

解：　 如图，设球的半径为R，

∵πO₂B²＝49π，　 ∴O₂B＝7

同理　 O₁A＝20

设OO₁＝xcm，则OO₂＝(x+9)cm.

在RtΔOO₁A中，可得R²＝x²+20²

在RtΔOO₂B中，可得R²＝7²+(x+9)²

∴x²+20²＝7²+(x+9)²

解方程得　 x＝15cm

R²＝x²+20²＝25²

∴S_球＝4π·OA²＝2500π(cm²)

430.求证：球的任意两个大圆互相平分.

证明：因为任意两个大圆都过球心O，所以它们必交于过球心的直径，这条直径也是两个大圆的公共直径，所以任意两个大圆互相平分.

429.　 求棱长为a的正四面体的外接球和内切球的半径.

解析：如图，作AH⊥底面BCD于H，则AH＝a，设内切球的球心为O，半径为r，O点与A、B、C、D相连，得四个锥体，设底面为S，则每个侧面积为S，有4··Sr＝S·AH，∴r＝AH＝a,设外接球心为O，半径R，过A点作球的半径交底面ΔBCD于H，则H为ΔBCD的外心，求得BH＝a,AH＝a,由相交弦定理得a×(2R-a)＝(a)².

解得R＝a.

428.　 如图，过半径为R的球面上一点P作三条两两垂直的弦PA、PB、PC，(1)求证：PA²+PB²+PC²为定值；(2)求三棱锥P-ABC的体积的最大值.

解析：先选其中两条弦PA、PB，设其确定的平面截球得⊙O₁，AB是⊙O₁的直径，连PO₁并延长交⊙O₁于D，PADB是矩形，PD²＝AB²＝PA²+PB²，然后只要证得PC和PD确定是大圆就可以了.

解：　 (1)设过PA、PB的平面截球得⊙O₁，∵PA⊥PB，

∴AB是⊙O₁的直径，连PO₁并延长交⊙O₁于D，则PADB是矩形，PD²＝PA²+PB².

设O为球心，则OO₁⊥平面⊙O₁，

∵PC⊥⊙O₁平面，

∴OO₁∥PC，因此过PC、PD的平面经过球心O，截球得大圆，又PC⊥PD.

∴CD是球的直径.

故　 PA²+PB²+PC²＝PD²+PC²＝CD²＝4R²定值.

(2)设PA、PB、PC的长分别为x、y、z，则三棱锥P-ABC的体积V＝xyz，

V²＝x²y²z²≤()³＝·＝R⁶.

∴V≤R³.

即　 V_最大＝R³.

评析：定值问题可用特殊情况先“探求”，如本题(1)若先考虑PAB是大圆，探求得定值4R²可为(1)的证明指明方向.

球面上任一点对球的直径所张的角等于90°，这应记作很重要的性质.

427.　 已知圆锥的母线长为l，母线对圆锥底面的倾角为θ，在这个圆锥内有一内切球，球内又有一个内接的正方体，求这个内接正方体的体积.

解析：设球半径为R，以内接正方体对角面为轴截面，如图.连接OA，∠OAD＝，R＝OD＝AD·tan,VA＝l,AD＝lcosθ,∴R＝lcosθtan,又设正方体棱长为x，则3x²＝EG²＝4R²,x＝R.∴V_正方体＝(lcosθtan)³.