585. 空间两个角α和β，若α和β的两边对应平行，当α=50°时，β=　　　　　　 。

解析：50°或130°

β与α相等或互补

584. 下面的三个命题：①四边相等的四边形是菱形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③若四边形有一组对角都是直角，则这个四边形是圆的内接四边形。

其中正确命题的个数是：(　　 )

　 A、1个　　　　　　 B、2个　　　　　 C、3个　　　　　 D、0个

解析：D

均不能保证它们是平面图形，故均不正确，选D

583. 如图，α∩β=C，aα，a∩c=A，bβ，b∩c=B，A、B为不同点。则a与b的位置关系为(　　 )

　 A、平行

　 B、异面

　 C、平行、异面均可能

　 D、平行、相交、异面均可能

解析：B

符合两条异面直线的判定，选B

582. 如图，在正方体ABCD--A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是B₁D₁，A₁B的中点，求证：EF∥AD₁。

解析：要证两条直线平行一是证这两条直线在同一平面内，再用平面几何知识证明它们平行；二是用平行公理即平行直线的传递性，找到与它们都平行的“公共”直线。

这里E为D₁B₁的中点，易想到用构造三角形的中位线的方法直接证明平行。因此，连AB₁是非常重要的步骤。

证明：连AB₁，则AB₁过A_­1B的中点F。

　　 又E为D₁B₁的中点，

　　 ∴EF为△AD₁B₁的中位线，

　　 则EF∥AD₁

581. 已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点。(1)如图(甲)中，F、G分别是BC、CD的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)如图(乙)中，若F是BC上的点，G是DC上的点，且，求证：四边形EFGH是梯形，并且直线EF、GH、AC共点。

证明：(1)如图(甲)，连结BD。

　　　 ∵EH是的△ABD中位线，

　　　 ∴EHBD，同理FGBD

　　　 根据公理4，EHFG

　　　 ∴四边形EFGH是平行四边形。

(2)如图(乙)由(1)知EHBD，又在△ABD中，

　　 ∴FG∥BD，FG=BD

　　 由公理4，∴EH∥FG，又FG>EH。

　　 ∴四边形EFGH是梯形。

　　 则直线EF、GH相交，设EF∩GH=P

　　 则P∈EF，又EF平面ABC

　　 ∴P∈平面ABC，同理P∈平面ADC。

　　 又平面ABC∩平面ADC=AC

　　 由公理2，得P∈AC，

　　 即EF、GH、AC三条直线共点。

点评：证明四边形是平行四边形或者梯形，首先必须证明它是平面图形，本题中的EH∥FG是关键

580. 求证：空间四边形的两条对角线是异面直线。

证明：如图，假设空间四边形ABCD的对角线AC与BD不是异面直线。

则AC、BD共面于α，则A、B、C、D均在平面α内，这与已知“ABCD是空间四边形(四个顶点不在同一平面内)”相矛盾。

故假设错误，因此AC、BD是异面直线。

点评：反证法是间接证法的一种，在立体几何的证中经

常用到。

579. 如图，在正方体ABCD--A₁B₁C₁D­₁中，E、F分别是AA₁、AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：

　　 (1)AB与CC₁；(2)A₁B₁与DC；

(3)A₁C与D₁B；(4)DC与BD₁；

(5)D₁E与CF

解析：(1)∵C∈平面ABCD，AB平面ABCD

　　　　 又CAB，C₁平面ABCD

　　　　 ∴AB与CC₁异面

(2)∵A₁B₁∥AB，AB∥DC，∴A₁B₁∥DC

(3)∵A₁D₁∥B₁C₁，B₁C₁∥BC，∴A₁D₁∥BC

　　 则A₁、B、C、D₁在同一平面内

　　 ∴A₁C与D₁B相交

(4)∵B∈平面ABCD，DC平面ABCD

　　 又BDC，D₁平面ABCD

　　 ∴DC与BD₁异面

(5)如图，CF与DA的延长线交于G，连结D₁G，

　　 ∵AF∥DC，F为AB中点，

　　 ∴A为DG的中点，又AE∥DD₁，

　　 ∴GD₁过AA₁的中点E，

　　 ∴直线D₁E与DF相交

578. 正方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，若E、M、N分别是棱AB、BC及B₁D₁的中点，求异面直线DN与MC₁所成的角。

解析：连NG、EM、EN、DE

∵ EMAC，NC₁AC

∴ NC₁EM

∴ NE∥MC₁

∴ ∠DNE为异面直线DN与MC₁所成的角

设AB=a，则DE=EN=GM=，DN=

△　　　　　　　 DNE中，cos∠DNE=

∴ 异面直线DN与MC₁所成的角为arccos.

577. 长方体ABCD-A’B’C’D’中，AB=2，BC=BB’=1，M、N分别是AD和BC中点，求异面直线MN和BC’所成角的大小

解析：∵MN∥AC，AC∥A’C’，∴MN∥A’C’

∴ ∠BC’A’就是MN与BC’所成的角

△　　　　　　　 BA’C中，BC’=，BA’=A’C’=

∴ cos∠BC’A’=

576. M、N分别是空间四边形ABCD中AB、CD中点，求证：MN<(AD+BC)。

证明：取AC中点P，则MP=BC，NP=AD

∴ MN<MP+NP=(BC+AD)