11.(搬中) 已知椭圆,F为它的右焦点,直线过原点交椭圆C于A、B两点。求是否存在最大值或最小值?若不存在,说明理由。
错解 设A、B两点坐标分别为、
因为
所以
又椭圆中心为(1,0),右准线方程为x=5
所以
即
同理
所以
设直线的方程为y=kx,代入椭圆方程得
所以
代入(1)式得
所以
所以|有最小值3,无最大值。
剖析 上述错解过程忽视了过原点斜率不存在的直线,当的斜率不存在时,有
所以有最小值为 3,最大值为25/4
10.(搬中)已知双曲线,问过点A(1,1)能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点,并且A为线段PQ的中点?若存在,求出直线的方程,若不存在,说明理由。
错解 设符合题意的直线存在,并设、
则
(1)得
因为A(1,1)为线段PQ的中点,
所以
将(4)、(5)代入(3)得
若,则直线的斜率
所以符合题设条件的直线存在。
其方程为
剖析 在(3)式成立的前提下,由(4)、(5)两式可推出(6)式,但由(6)式不能推出(4)(5)两式,故应对所求直线进行检验,上述错解没有做到这一点,故是错误的。
应在上述解题的基础上,再由
得
根据,说明所求直线不存在。
9. (搬中)椭圆中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率,已知点P()到椭圆上的点最远距离是,求这个椭圆的方程。
错解 设所求椭圆方程为
因为
所以a=2b
于是椭圆方程为
设椭圆上点M(x,y)到点P 的距离为d,
则:
所以当时,
有
所以所求椭圆方程为
剖析 由椭圆方程
得
由(1)式知是y的二次函数,
其对称轴为
上述错解在于没有就对称轴在区间内或外进行分类,
其正确应对f(y)=的最值情况进行讨论:
(1)当,即时
=7
,方程为
(2)当,
即时,
,与矛盾。
综上所述,所求椭圆方程为
8. (搬中)已知双曲线的离心率e=, 过点A()和B(a,0)的直线与原点的距离为,直线y=kx+m与该双曲线交于不同两点C、D,且C、D两点都在以A为圆心的同一圆上,求m 的取值范围。
错解 由已知,有
解之得:
所以双曲线方程为
把直线 y=kx+m代入双曲线方程,并整理得:
所以(1)
设CD中点为,
则APCD,且易知:
所以
(2)
将(2)式代入(1)式得
解得m>4或
故所求m的范围是
剖析 上述错解,在于在减元过程中,忽视了元素之间的制约关系,将代入(1) 式时,m受k的制约。
因为
所以
故所求m的范围应为
m>4或
7.(搬中)点P与定点F(2,0)的距离和它到直线x=8的距离比是1:3,求动点P与定点距离的最值。
错解:设动点P(x,y)到直线x=8的距离为d,则
即
两边平方、整理得
=1 (1)
由此式可得:
因为
所以
剖析 由上述解题过程知,动点P(x,y)在一椭圆上,由椭圆性质知,椭圆上点的横纵坐标都是有限制的,上述错解在于忽视了这一取值范围,由以上解题过程知,的最值可由二次函数在区间上的单调性给予解决
即:当时,
6.(搬中) 已知圆,圆都内切于动圆,试求动圆圆心的轨迹方程。
错解:圆O2:
即为
所以圆O2的圆心为,半径,
而圆的圆心为,半径,
设所求动圆圆心M的坐标为(x,y),半径为r
则且
所以
即
化简得
即为所求动圆圆心的轨迹方程。
剖析:上述解法将=3看成,误认为动圆圆心的轨迹为双曲线,这是双曲线的概念不清所致。
事实上,|表示动点M到定点及的距离差为一常数3。
且,点M的轨迹为双曲线右支,方程为
5. (石庄中学)在函数的图象上有A、B两动点,满足AB∥x轴,点M(1,m)(m为常数,m>3)是三角形ABC的边BC的中点,设A点横坐标t,△ABC的面积为f (t).
(1) 求f (t)的解析表达式;
(2) 若f (t)在定义域内为增函数,试求m的取值范围;
(3) 是否存在m使函数f (t)的最大值18?若存在,试求出m的值;若不存在,请说明理由。
解:(1) f (t) = 2t (m-3t2)
(2) ∵上是增函数.
∴ 即上恒成立.
即m的取值范围
(3) 令f’(t)=0,得(其中舍去)
即时,在处 =12,
此时m的值不存在.
令 ,即m>9由(2)知f (t)在 为增函数,
,由2(m-3)=18得m=12
综上只存在m=12适合题意。
4.(石庄中学)设有半径为3km的圆形村落,A、B两人同时从村落中心出发,B向北直行,A先向东直行,出村后不久,改变前进方向,沿着与村落周界相切的直线前进,后来恰与B相遇,设A、B两人速度一定,其速度比为3:1,问两人在何处相遇?
解:设直线CD的方程为
∵圆心O到直线CD的距离3
∴ ①
∵VA:VB=3:1
在相同时间内有
SA:SB=3:1
∴3b=a+b+ ②
由①②解得
a=5
b=
∴CD直线方程为
∴A与B在距村心北方km处相遇
3. (石庄中学) 如图,A村在B地正北cm处,C村在B地正东4km处,已知弧形公路PQ上任一点到B,C距离之和为8km,现要在公路旁建造一个交电房M分别向A村、C村送电,但C村有一村办工厂用电需用专用线路,不得与民用混线用电,因此向C村要架两条线路分别给村民和工厂送电,要使得所用电线最短,变电房M应建在A村的什么方位,并求出M到A村的距离.
解:,∴M在以B,C为焦点,长轴长为8的椭圆上,建立如图所示的坐标系,则B(-2,0),C(2,0), ,
求得椭圆方程为,其离心率,右准线为.
作MN⊥l于N,则,由平面几何知识知,当直线MN通过A时,,此时M的纵坐标为,
∴M的横坐标为.
故得M在A正东且距A为()km处.
2. (如中)已知双曲线两焦点,其中为的焦点,两点A (-3,2) B (1,2)都在双曲线上,(1)求点的坐标;(2)求点的轨迹方程,并画出轨迹的草图;(3)若直线与的轨迹方程有且只有一个公共点,求实数 t的取值范围。
解答:(1)由得:
故
(2)设点
则又双曲线的定义得
又 或
点的轨迹是以为焦点的椭圆
除去点或 除去点 图略。
(3)联列:消去得
整理得:
当时 得 从图可知:,
又因为轨迹除去点 所以当直线过点时也只有一个交点,即或5
易错原因:(1)非标准方程求焦点坐标时计算易错;(2)求点的轨迹时易少一种情况;(3)对有且仅有一个交点误认为方程只有一解。
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